Một khóa mã số sử dụng mật khẩu là một dãy gồm 5 chữ số phân

Câu hỏi số 956129:

Vận dụng

Một khóa mã số sử dụng mật khẩu là một dãy gồm 5 chữ số phân biệt từ 1 đến 9. Một mật khẩu được gọi là mạnh nếu nó thỏa mãn đồng thời hai điều kiện:

i) Không có hai chữ số lẻ nào đứng cạnh nhau.

ii) Chữ số đứng sau luôn lớn hơn chữ số đứng trước hoặc luôn nhỏ hơn chữ số đứng trước.

Chọn ngẫu nhiên một mật khẩu. Tính xác suất để chọn được mật khẩu mạnh.

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:956129

Phương pháp giải

Tính số phần tử của không gian mẫu $|\Omega|$ là số cách lập mật khẩu gồm 5 chữ số phân biệt từ tập 9 chữ số.

Phân tích điều kiện (ii) để thấy rằng mỗi tập con gồm 5 chữ số phân biệt tạo ra đúng 2 mật khẩu thỏa mãn (1 dãy tăng dần và 1 dãy giảm dần).

Phân tích điều kiện (i) kết hợp (ii) bằng cách chia các trường hợp về số lượng chữ số lẻ có trong tập con 5 chữ số được chọn.

Tính số kết quả thuận lợi |A|, từ đó suy ra xác suất và tính giá trị a.

Giải chi tiết

Tập hợp các chữ số có thể sử dụng là $X = \left\{ 1;2;3;4;5;6;7;8;9 \right\}$.

Số phần tử của không gian mẫu là số cách chọn 5 chữ số phân biệt từ 9 chữ số và sắp xếp chúng có thứ tự: $\left| \Omega \middle| = A_{9}^{5} = 15120 \right.$.

Gọi A là biến cố: "Mật khẩu được chọn là mật khẩu mạnh".

Theo điều kiện (ii), các chữ số của mật khẩu phải được sắp xếp tăng dần hoặc giảm dần. Suy ra, với mỗi tập con gồm 5 chữ số phân biệt được chọn từ X, ta chỉ tạo được đúng 2 dãy số thỏa mãn điều kiện (ii).

Theo điều kiện (i), không có 2 chữ số lẻ nào đứng cạnh nhau trong mật khẩu. Vì mật khẩu đã được sắp thứ tự, điều này đồng nghĩa với việc khi sắp xếp 5 chữ số được chọn theo thứ tự tăng dần, không có 2 chữ số lẻ nào đứng kề nhau.

Tập hợp X gồm 5 chữ số lẻ là $\left\{ 1;3;5;7;9 \right\}$ và 4 chữ số chẵn là $\left\{ 2;4;6;8 \right\}$.

Để không có 2 số lẻ nào kề nhau trong 5 số được chọn, số lượng chữ số lẻ k phải thỏa mãn $1 \leq k \leq 3$ (nếu chọn 4 số lẻ thì chỉ có tối đa 1 số chẵn nên chắc chắn có 2 số lẻ đứng kề nhau).

Ta xét 3 trường hợp:

Trường hợp 1: Chọn 1 chữ số lẻ, 4 chữ số chẵn.

Số cách chọn là $C_{5}^{1} \cdot C_{4}^{4} = 5$ cách. Do chỉ có 1 số lẻ nên luôn thỏa mãn không có 2 số lẻ kề nhau.

Trường hợp 2: Chọn 2 chữ số lẻ, 3 chữ số chẵn.

Tổng số cách chọn 2 số lẻ và 3 số chẵn là $C_{5}^{2} \cdot C_{4}^{3} = 40$ cách.

Trong 40 cách này chỉ có 4 cách để xếp 2 số lẻ kề nhau

Vậy số cách xếp để không có 2 số lẻ kề nhau của trường hợp này là $40 - 4 = 36$ cách.

Trường hợp 3: Chọn 3 chữ số lẻ, 2 chữ số chẵn.

Để 3 chữ số lẻ không kề nhau, chúng phải được xen kẽ bởi đúng 2 chữ số chẵn theo sơ đồ: Lẻ < Chẵn < Lẻ < Chẵn < Lẻ.

Ta xét các cách chọn 2 chữ số chẵn (có $C_{4}^{2} = 6$ cách) và đếm số cách chọn 3 chữ số lẻ điền vào các khoảng trống tương ứng:

Chọn chẵn $\left\{ 2;4 \right\}$: Các khoảng lẻ tương ứng chọn từ $\left\{ 1 \right\}$, $\left\{ 3 \right\}$, $\left\{ 5;7;9 \right\}$. Có $1 \cdot 1 \cdot 3 = 3$ cách.

Chọn chẵn $\left\{ 2;6 \right\}$: Các khoảng lẻ tương ứng chọn từ $\left\{ 1 \right\}$, $\left\{ 3;5 \right\}$, $\left\{ 7;9 \right\}$. Có $1 \cdot 2 \cdot 2 = 4$ cách.

Chọn chẵn $\left\{ 2;8 \right\}$: Các khoảng lẻ tương ứng chọn từ $\left\{ 1 \right\}$, $\left\{ 3;5;7 \right\}$, $\left\{ 9 \right\}$. Có $1 \cdot 3 \cdot 1 = 3$ cách.

Chọn chẵn $\left\{ 4;6 \right\}$: Các khoảng lẻ tương ứng chọn từ $\left\{ 1;3 \right\}$, $\left\{ 5 \right\}$, $\left\{ 7;9 \right\}$. Có $2 \cdot 1 \cdot 2 = 4$ cách.

Chọn chẵn $\left\{ 4;8 \right\}$: Các khoảng lẻ tương ứng chọn từ $\left\{ 1;3 \right\}$, $\left\{ 5;7 \right\}$, $\left\{ 9 \right\}$. Có $2 \cdot 2 \cdot 1 = 4$ cách.

Chọn chẵn $\left\{ 6;8 \right\}$: Các khoảng lẻ tương ứng chọn từ $\left\{ 1;3;5 \right\}$, $\left\{ 7 \right\}$, $\left\{ 9 \right\}$. Có $3 \cdot 1 \cdot 1 = 3$ cách.

Tổng số tập con thỏa mãn ở trường hợp 3 là: $3 + 4 + 3 + 4 + 4 + 3 = 21$ cách.

Tổng cộng có $5 + 36 + 21 = 62$ tập con gồm 5 phần tử thỏa mãn yêu cầu.

Mỗi tập con xếp được thành 2 mật khẩu (tăng dần và giảm dần) thỏa mãn đồng thời cả 2 điều kiện.

Số kết quả thuận lợi của biến cố A là $\left| A \middle| = 62 \cdot 2 = 124 \right.$.

Xác suất để chọn được mật khẩu mạnh là: $P = \dfrac{|A|}{|\Omega|} = \dfrac{124}{15120} = \dfrac{31}{3780}$.

Group 2K9 ôn Thi ĐGNL & ĐGTD Miễn Phí

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> Học trực tuyến Lớp 11 cùng thầy cô giáo giỏi trên Tuyensinh247.com. Bứt phá điểm 9,10 chỉ sau 3 tháng. Cam kết giúp học sinh lớp 11 học tốt, hoàn trả học phí nếu học không hiệu quả.