Cho hình chóp S.ABC có đáy là tam giác đều cạnh bằng 6. Hình

Câu hỏi số 958266:

Vận dụng

Cho hình chóp S.ABC có đáy là tam giác đều cạnh bằng 6. Hình chiếu vuông góc của đỉnh S trên mặt phẳng (ABC) là điểm H thuộc cạnh AB sao cho $HA = 2HB$. Góc giữa đường thẳng SC và mặt phẳng (ABC) bằng $60^{{^\circ}}$. Tính khoảng cách giữa hai đường thẳng SA và BC (làm tròn đến hàng phần trăm).

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:958266

Phương pháp giải

Dựng hình bình hành ACBD. Kẻ $HE\bot AD;HK\bot SE$

$\left. \Rightarrow d\left( {SA,BC} \right) = d\left( {BC,\left( {SAD} \right)} \right) = d\left( {B;SAD} \right) = \dfrac{3}{2}d\left( {H,\left( {SAD} \right)} \right) = \dfrac{3}{2}HF \right.$

Tính HF từ đó suy ra khoảng cách giữa hai đường thẳng SA và BC.

Giải chi tiết

Dựng hình bình hành ACBD. Kẻ $HE\bot AD;HK\bot SE$

Khi đó $\left. \left\{ \begin{array}{l} {AD\bot HE} \\ {AD\bot SA} \end{array} \right.\Rightarrow AD\bot\left( {SHE} \right)\Rightarrow AD\bot HF\Rightarrow HF\bot\left( {SAD} \right) \right.$

$\left. \Rightarrow d\left( {SA,BC} \right) = d\left( {BC,\left( {SAD} \right)} \right) = d\left( {B;SAD} \right) = \dfrac{3}{2}d\left( {H,\left( {SAD} \right)} \right) = \dfrac{3}{2}HF \right.$

Ta có $\left. BH = \dfrac{1}{3}BA = 2\Rightarrow HC = \sqrt{BH^{2} + BC^{2} - 2BH.BC.\cos HBC} = 2\sqrt{7} \right.$

Vì $\angle\left( {SC,\left( {ABC} \right)} \right) = \angle\left( {SC,CH} \right) = \angle SCH = 60^{0}$

$\left. \Rightarrow SH = HC.\tan SCH = 2\sqrt{7}.\tan 60 = 2\sqrt{21} \right.$

Lại có $\left. \dfrac{d\left( {H,AD} \right)}{d\left( {B,AD} \right)} = \dfrac{AH}{AB} = \dfrac{2}{3}\Rightarrow d\left( {H,AD} \right) = \dfrac{2}{3}d\left( {B,AD} \right)\Rightarrow HE = \dfrac{2}{3}.\dfrac{6\sqrt{3}}{2} = 2\sqrt{3} \right.$

$\left. \Rightarrow\dfrac{1}{HF^{2}} = \dfrac{1}{HE^{2}} + \dfrac{1}{SH^{2}} = \dfrac{1}{\left( {2\sqrt{3}} \right)^{2}} + \dfrac{1}{\left( {2\sqrt{21}} \right)^{2}}\Rightarrow HF = \dfrac{\sqrt{42}}{2} \right.$

$\left. \Rightarrow d\left( {SA,BC} \right) = \dfrac{3}{2}.\dfrac{\sqrt{42}}{2} = \dfrac{3\sqrt{42}}{4} \approx 4,86 \right.$

Group 2K8 ôn Thi ĐGNL & ĐGTD Miễn Phí

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> 2K8 Chú ý! Lộ Trình Sun 2026 - 3IN1 - 1 lộ trình ôn 3 kì thi (Luyện thi 26+ TN THPT, 90+ ĐGNL HN, 900+ ĐGNL HCM, 70+ ĐGTD - Click xem ngay) tại Tuyensinh247.com.Đầy đủ theo 3 đầu sách, Thầy Cô giáo giỏi, luyện thi theo 3 giai đoạn: Nền tảng lớp 12, Luyện thi chuyên sâu, Luyện đề đủ dạng đáp ứng mọi kì thi.