Tel: 024.7300.7989 - Phone: 1800.6947 (Thời gian hỗ trợ từ 7h đến 22h)

Thi thử toàn quốc ĐGNL, ĐGTD ngày 25-26/04/2026
↪ ĐGNL HCM (V-ACT) - Trạm số 6 ↪ ĐGTD Bách khoa (TSA) - Trạm số 7
Giỏ hàng của tôi
Trang chủ
Luyện thi đại học môn toán

Một vật thể dùng để trang trí nội thất có dạng khối tròn xoay được

Câu hỏi số 958517:
Vận dụng

Một vật thể dùng để trang trí nội thất có dạng khối tròn xoay được tạo thành khi quay hình phẳng (R) quanh trục AB. Biết hình phẳng (R) được giới hạn bởi các cạnh AB, AD của hình vuông ABCD tâm I (độ dài cạnh 4 cm) và các cung phần tư DI, IB của các đường tròn bán kính 2 cm (phần gạch chéo trong hình 2). Tâm của các đường tròn chứa cung DI và IB lần lượt là trung điểm M, N của các cạnh AD, AB.

Chọn hệ trục toạ độ Oxy sao cho $A(0;0)$, $B(4;0)$, $D(0;4)$. Khi đó, các mệnh đề sau đây đúng hay sai?

Đúng Sai
a) Phương trình đường cong tương ứng với phần cung DI là $y = \sqrt{4 - x^{2}}$ với $x \in \lbrack 0;2\rbrack$.
b) Diện tích của hình phẳng $(R)$ bằng $16 - 2\pi\left( \text{cm}^{2} \right)$.
c) Thể tích khối tròn xoay do phần hình phẳng nằm dưới cung IB sinh ra khi quay quanh trục Ox là $\dfrac{16\pi}{3}\text{cm}^{3}$.
d) Thể tích chính xác của toàn bộ vật thể trang trí đó là $V = \dfrac{40\pi}{3} + 4\pi^{2}\text{cm}^{3}$.

Đáp án đúng là: S; S; Đ; S

Quảng cáo

Xem lời giải
Câu hỏi:958517
Phương pháp giải

a) Viết phương trình đường tròn tâm M, bán kính 2 từ đó suy ra cung ID

b) Diện tích hình phẳng (R) gồm diện tích hình vuông INAM và 2 hình quạt góc $90^{0}$

c) Cung IB quay quanh trục Ox ta được nửa hình cầu có bán kính bằng 2

d) Tính thể tích bằng tích phân $V = \pi.{\int\limits_{a}^{b}{\left\lbrack {f(x)} \right\rbrack^{2}dx}}$

Giải chi tiết

a) Sai. Đường tròn chứa cung DI có tâm $M(0;2)$ và bán kính $r = 2$.

Phương trình đường tròn là: $x^{2} + {(y - 2)}^{2} = 4$.

Suy ra $\left. {(y - 2)}^{2} = 4 - x^{2}\Rightarrow y = 2 \pm \sqrt{4 - x^{2}} \right.$.

Vì cung DI nằm ở nửa trên của đường tròn tâm M (giá trị $y \geq 2$), phương trình của cung DI phải là $y = 2 + \sqrt{4 - x^{2}}$ với $x \in \lbrack 0;2\rbrack$.

b) Sai. Diện tích hình phẳng (R) gồm diện tích hình vuông INAM và 2 hình quạt góc $90^{0}$

Diện tích hình phẳng (R) là $\dfrac{1}{4}.\pi.2^{2}.2 + 2^{2} = 4 + 2\pi$

c) Đúng. Cung IB quay quanh trục Ox ta được nửa hình cầu có bán kính bằng 2

Vậy cung IB quay quanh trục Ox được hình có thể tích là $V_{2} = \dfrac{1}{2}.\dfrac{4}{3}\pi.2^{3} = \dfrac{16}{3}\pi$

d) Sai. Thể tích vật thể bao gồm hai phần: $V = V_{1} + V_{2}$.

$V_{1} = \pi{\int_{0}^{2}\left( {2 + \sqrt{4 - x^{2}}} \right)^{2}}dx = \pi{\int_{0}^{2}\left( {4 + 4 - x^{2} + 4\sqrt{4 - x^{2}}} \right)}dx$

$V_{1} = \pi{\int_{0}^{2}{(8 - x^{2})}}dx + 4\pi{\int_{0}^{2}\sqrt{4 - x^{2}}}dx$

Ta có ${\int_{0}^{2}{(8 - x^{2})}}dx = \left\lbrack {8x - \dfrac{x^{3}}{3}} \right\rbrack_{0}^{2} = 16 - \dfrac{8}{3} = \dfrac{40}{3}$.

Và ${\int_{0}^{2}\sqrt{4 - x^{2}}}dx$ là diện tích hình phần tư hình tròn bán kính $R = 2$, có giá trị bằng $\dfrac{1}{4} \cdot \pi \cdot 2^{2} = \pi$.

Suy ra $V_{1} = \pi\left( {\dfrac{40}{3} + 4\pi} \right) = \dfrac{40\pi}{3} + 4\pi^{2}$.

Tổng thể tích vật thể là: $V = V_{1} + V_{2} = \left( {\dfrac{40\pi}{3} + 4\pi^{2}} \right) + \dfrac{16\pi}{3} = \dfrac{\mathbf{56\pi}}{\mathbf{3}} + \mathbf{4}\mathbf{\pi}^{\mathbf{2}}\,\,\,\text{cm}^{3}$

Đáp án cần chọn là: S; S; Đ; S

Group 2K8 ôn Thi ĐGNL & ĐGTD Miễn Phí

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>>  2K8 Chú ý! Lộ Trình Sun 2026 - 3IN1 - 1 lộ trình ôn 3 kì thi (Luyện thi 26+ TN THPT, 90+ ĐGNL HN, 900+ ĐGNL HCM, 70+ ĐGTD - Click xem ngay) tại Tuyensinh247.com.Đầy đủ theo 3 đầu sách, Thầy Cô giáo giỏi, luyện thi theo 3 giai đoạn: Nền tảng lớp 12, Luyện thi chuyên sâu, Luyện đề đủ dạng đáp ứng mọi kì thi.

Hỗ trợ - Hướng dẫn

  • 024.7300.7989
  • 1800.6947 free

(Thời gian hỗ trợ từ 7h đến 22h)
Email: lienhe@tuyensinh247.com

Đăng ký nhận tư vấn