Trong mặt phẳng Oxy cho: Đồ thị $(C)$ của hàm số $\left. y = \dfrac{3}{4} \middle| x

Câu hỏi số 959031:

Vận dụng

Trong mặt phẳng Oxy cho:

Đồ thị $(C)$ của hàm số $\left. y = \dfrac{3}{4} \middle| x \right|$.

Đường tròn $(C_{1})$ có tâm $I_{1}$, bán kính $1$ tiếp xúc với $(C)$ tại $A$ và tiếp xúc với tia Ox.

Đường tròn $(C_{2})$ có tâm $I_{2}$, bán kính $1$ tiếp xúc với $(C)$ tại $B$ và tiếp xúc với tia Ox'.

Parabol $(P)$ có đỉnh là $O$, qua $I_{1}$ và $I_{2}$.

Tính diện tích của hình phẳng giới hạn bởi (C), (P) và các đường thẳng I_1A, I_2B.

Đáp án:

Đáp án đúng là: 4

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:959031

Phương pháp giải

Sử dụng phương pháp tọa độ hóa và ứng dụng tích phân để tính diện tích hình phẳng. Dựa vào hình vẽ và các dữ kiện, bài toán có tính đối xứng qua trục tung Oy, do đó ta sẽ tìm diện tích phần hình phẳng nằm bên phải trục Oy (tương ứng với $x \geq 0$), sau đó nhân đôi kết quả để ra được tổng diện tích cần tìm.

Giải chi tiết

Do tính đối xứng qua trục Oy, ta xét phần đồ thị bên phải trục Oy (với $x > 0$)

Khi đó (C) là đường thẳng $\left. d_{1}:y = \dfrac{3}{4}x\Leftrightarrow 3x - 4y = 0 \right.$.

Đường tròn $(C_{1})$ có tâm $I_{1}(x_{1};y_{1})$ với $x_{1} > 0,y_{1} > 0$ và bán kính $R = 1$.

Vì $(C_{1})$ tiếp xúc với tia Ox (có phương trình $y = 0$) nên khoảng cách từ $I_{1}$ đến Ox bằng $\left. 1\Rightarrow y_{1} = 1 \right.$.

Vậy tâm $I_{1}(x_{1};1)$.

Vì $(C_{1})$ tiếp xúc với $(C)$ tại $A$ nên khoảng cách từ $I_{1}$ đến $d_{1}$ bằng $1$:

$\left. \dfrac{\left| 3x_{1} - 4.1 \right|}{\sqrt{3^{2} + {( - 4)}^{2}}} = 1\Leftrightarrow \middle| 3x_{1} - 4 \middle| = 5\Leftrightarrow\left\lbrack \begin{array}{l} {3x_{1} - 4 = 5} \\ {3x_{1} - 4 = - 5} \end{array} \right.\Leftrightarrow\left\lbrack \begin{array}{l} {x_{1} = 3} \\ {x_{1} = - \dfrac{1}{3}\text{~(ktm~do~}x_{1} > 0\text{)}} \end{array} \right. \right.$

Suy ra $I_{1}(3;1)$. Do tính đối xứng, ta cũng có $I_{2}( - 3;1)$.

Parabol $(P)$ có đỉnh $O(0;0)$ nên phương trình có dạng $y = ax^{2}$.

Do $(P)$ đi qua $I_{1}(3;1)$ nên ta có $\left. 1 = a.3^{2}\Rightarrow a = \dfrac{1}{9} \right.$.

Vậy phương trình của $(P)$ là $y = \dfrac{1}{9}x^{2}$.

Điểm A là tiếp điểm của $(C_{1})$ và $(C)$, do đó $I_{1}A\bot d_{1}$.

Đường thẳng $d_{1}$ có vectơ pháp tuyến $(3; - 4)$, suy ra $I_{1}A$ nhận vectơ $(4;3)$ làm vectơ pháp tuyến.

Phương trình đường thẳng $I_{1}A$ đi qua $I_{1}(3;1)$ là:

$\left. 4(x - 3) + 3(y - 1) = 0\Leftrightarrow 4x + 3y - 15 = 0\Leftrightarrow y = - \dfrac{4}{3}x + 5 \right.$.

Tọa độ điểm A là nghiệm của hệ phương trình:

$\left. \left\{ \begin{array}{l} {y = \dfrac{3}{4}x} \\ {y = - \dfrac{4}{3}x + 5} \end{array} \right.\Leftrightarrow\left\{ \begin{array}{l} {x = \dfrac{12}{5}} \\ {y = \dfrac{9}{5}} \end{array} \right.\Rightarrow A\left( {\dfrac{12}{5};\dfrac{9}{5}} \right) \right.$.

Gọi $S_{1}$ là diện tích hình phẳng nằm bên phải trục Oy.

$S_{1} = {\int_{0}^{\dfrac{12}{5}}\left( {\dfrac{3}{4}x - \dfrac{1}{9}x^{2}} \right)}dx + {\int_{\dfrac{12}{5}}^{3}\left( {- \dfrac{4}{3}x + 5 - \dfrac{1}{9}x^{2}} \right)}dx = 2$

Diện tích toàn bộ hình phẳng cần tính là $S = 2S_{1} = 2 \times 2 = 4$.

Đáp án cần điền là: 4

Group 2K8 ôn Thi ĐGNL & ĐGTD Miễn Phí

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> 2K8 Chú ý! Lộ Trình Sun 2026 - 3IN1 - 1 lộ trình ôn 3 kì thi (Luyện thi 26+ TN THPT, 90+ ĐGNL HN, 900+ ĐGNL HCM, 70+ ĐGTD - Click xem ngay) tại Tuyensinh247.com.Đầy đủ theo 3 đầu sách, Thầy Cô giáo giỏi, luyện thi theo 3 giai đoạn: Nền tảng lớp 12, Luyện thi chuyên sâu, Luyện đề đủ dạng đáp ứng mọi kì thi.