Xưởng thiết kế nội thất đang phát triển một mẫu chậu cây cảnh bằng bê

Câu hỏi số 959833:

Vận dụng

Xưởng thiết kế nội thất đang phát triển một mẫu chậu cây cảnh bằng bê tông cốt sợi cao cấp. Lòng trong của chậu cây (phần chứa đất) có hình dáng là một khối chóp cụt lục giác đều. Để đảm bảo tỷ lệ vàng trong thiết kế, các kỹ sư đã chốt các thông số kỹ thuật sau: Phần đáy chậu (đáy nhỏ) là một lục giác đều có độ dài cạnh $a = 30cm.$ Phần miệng chậu (đáy lớn) là một lục giác đều có độ dài cạnh $b = 60cm.$ Góc phẳng nhị diện tạo mặt bên và đáy nhỏ của chậu đo được bằng $\alpha = 120^{o}.$ Thể tích không gian bên trong của chậu cây là bao nhiêu lít? (kết quả làm tròn đến hàng đơn vị).

Trả lời:

Đáp án đúng là:

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:959833

Phương pháp giải

Sử dụng công thức tính thể tích khối chóp cụt: $V = \dfrac{h}{3}(S_{1} + S_{2} + \sqrt{S_{1}S_{2}})$, trong đó $S_{1}$, $S_{2}$ là diện tích hai đáy và h là chiều cao.

Diện tích lục giác đều cạnh a là $S = \dfrac{3\sqrt{3}}{2}a^{2}$.

Giải chi tiết

Diện tích đáy nhỏ: $S_{1} = \dfrac{3\sqrt{3}}{2} \cdot 30^{2} = 1350\sqrt{3}(cm^{2})$

Diện tích đáy lớn: $S_{2} = \dfrac{3\sqrt{3}}{2} \cdot 60^{2} = 5400\sqrt{3}(cm^{2})$

Gọi $O_{1},O_{2}$ lần lượt là tâm của đáy nhỏ và đáy lớn, N, M lần lượt là trung điểm cạnh của đáy nhỏ và đáy lớn. Khi đó

$O_{1}M = \dfrac{30\sqrt{3}}{2} = 15\sqrt{3}(cm)$; $O_{2}N = \dfrac{60\sqrt{3}}{2} = 30\sqrt{3}(cm)$

Xét hình thang vuông $O_{1}MNO_{2}$ có góc nhị diện $\angle NMO_{1} = 120^{o}$

Kẻ $\left. MK\bot O_{2}N\Rightarrow KN =O_{2}N - O_{1}M= 15\sqrt{3}\text{cm} \right.$

Trong $\bigtriangleup MKN$, góc $\angle MNK = 180^{o} - 120^{o} = 60^{o}$

Chiều cao h của chóp cụt:

$h = O_{1}O_{2} = MK = KN \cdot \tan 60^{{^\circ}} = 15\sqrt{3} \cdot \sqrt{3} = 45\text{cm}$

Thể tích khối chóp cụt là:

$V = \dfrac{45}{3}\left( {1350\sqrt{3} + 5400\sqrt{3} + \sqrt{1350\sqrt{3} \cdot 5400\sqrt{3}}} \right) \approx 245518(cm^{3}) \approx 246$ lít.

Đáp án cần điền là: 246

Group 2K8 ôn Thi ĐGNL & ĐGTD Miễn Phí

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> 2K9 Chú ý! Lộ Trình Sun 2027 - 1 lộ trình ôn đa kỳ thi (TN THPT, ĐGNL (Hà Nội/ Hồ Chí Minh), ĐGNL Sư Phạm, ĐGTD, ĐGNL Bộ Công an, ĐGNL Bộ Quốc phòngTD - Click xem ngay) tại Tuyensinh247.com. Cập nhật bám sát bộ SGK mới, Thầy Cô giáo giỏi, 3 bước chi tiết: Nền tảng lớp 12; Luyện thi chuyên sâu; Luyện đề đủ dạng đáp ứng mọi kì thi.