Bạn Minh dùng một miếng bìa hình vuông ABCD cạnh bằng 40cm và cắt theo

Câu hỏi số 960431:

Vận dụng

Bạn Minh dùng một miếng bìa hình vuông ABCD cạnh bằng 40cm và cắt theo đường nét đứt (như hình vẽ) để làm một chiếc đèn lồng gồm ba phần: Phần thân của đèn là một hình lăng trụ tứ giác đều, hai đầu của chiếc đèn là hai hình chóp tứ giác đều. Biết $AH = KD$, thể tích lớn nhất của chiếc đèn bằng bao nhiêu $cm^{3}$? (Không làm tròn kết quả các phép tính trung gian, chỉ làm tròn kết quả cuối cùng đến hàng đơn vị).

Trả lời:

Đáp án đúng là:

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:960431

Phương pháp giải

Xác định các kích thước của đèn lồng từ miếng bìa. Thân đèn là lăng trụ cạnh đáy x, chiều cao H. Đầu đèn là chóp chiều cao $h_{0}$.

Thiết lập hàm thể tích V và tìm giá trị lớn nhất bằng đạo hàm.

Giải chi tiết

Từ hình vẽ, chiều rộng miếng bìa chia làm 4 phần bằng nhau làm các mặt bên

$\Rightarrow$ Cạnh đáy đèn $x = \dfrac{40}{4} = 10$ cm.

Gọi h là chiều cao của tam giác cân làm mặt bên khối chóp $0<h \le 5$, H là chiều cao lăng trụ.

Ta có $\left. 2h + H = 40\Rightarrow H = 40 - 2h \right.$

Chiều cao của mỗi khối chóp: $h_{0} = \sqrt{h^{2} - \left( \dfrac{x}{2} \right)^{2}} = \sqrt{h^{2} - 25}$

Tổng thể tích đèn lồng: $V = x^{2}H + 2 \cdot \dfrac{1}{3}x^{2}h_{0} = 100(40 - 2h) + \dfrac{200}{3}\sqrt{h^{2} - 25}$

Xét hàm $f(h)$ với $h \geq 5$, $f'(h) = - 200 + \dfrac{200h}{3\sqrt{h^{2} - 25}}$

$\left. f'(h) = 0\Leftrightarrow 3\sqrt{h^{2} - 25} = h\Leftrightarrow 9(h^{2} - 25) = h^{2}\Leftrightarrow h = \dfrac{15}{2\sqrt{2}} \right.$

Giá trị thể tích lớn nhất $V\left( \dfrac{15}{2\sqrt{2}} \right) \approx 3057$.

Đáp án cần điền là: 3057

Group 2K8 ôn Thi ĐGNL & ĐGTD Miễn Phí

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> 2K9 Chú ý! Lộ Trình Sun 2027 - 1 lộ trình ôn đa kỳ thi (TN THPT, ĐGNL (Hà Nội/ Hồ Chí Minh), ĐGNL Sư Phạm, ĐGTD, ĐGNL Bộ Công an, ĐGNL Bộ Quốc phòngTD - Click xem ngay) tại Tuyensinh247.com. Cập nhật bám sát bộ SGK mới, Thầy Cô giáo giỏi, 3 bước chi tiết: Nền tảng lớp 12; Luyện thi chuyên sâu; Luyện đề đủ dạng đáp ứng mọi kì thi.