Cho hình hộp ABCD.A'B'C'D' có $AB = 3$, $AD = 4$, $AA' = 5$. Biết $BAD = 90^{o},$$BAA' = DAA' =

Câu hỏi số 960430:

Vận dụng

Cho hình hộp ABCD.A'B'C'D' có $AB = 3$, $AD = 4$, $AA' = 5$. Biết $BAD = 90^{o},$$BAA' = DAA' = 60^{o}$. Số đo góc giữa vectơ $\overset{\rightarrow}{AC^{\prime}}$ và vectơ $\overset{\rightarrow}{D^{\prime}C}$ bằng bao nhiêu độ? (Không làm tròn kết quả các phép tính trung gian, chỉ làm tròn kết quả cuối cùng đến hàng đơn vị).

Trả lời:

Đáp án đúng là:

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:960430

Phương pháp giải

Sử dụng phương pháp vectơ trong không gian.

Thiết lập hệ thức tính tích vô hướng và độ dài dựa trên các góc cho trước giữa các cạnh xuất phát từ đỉnh $A$.

Giải chi tiết

Ta có $\overset{\rightarrow}{AC^{\prime}} = \overset{\rightarrow}{AB} + \overset{\rightarrow}{AD} + \overset{\rightarrow}{AA^{\prime}}$ và $\overset{\rightarrow}{D^{\prime}C} = \overset{\rightarrow}{AB} - \overset{\rightarrow}{AA^{\prime}}$.

Tích vô hướng các cặp vectơ cạnh:

$\overset{\rightarrow}{AB} \cdot \overset{\rightarrow}{AD} = 0$

$\overset{\rightarrow}{AB} \cdot \overset{\rightarrow}{AA^{\prime}} = 3.5.\cos 60^{{^\circ}} = 7,5$

$\overset{\rightarrow}{AD} \cdot \overset{\rightarrow}{AA^{\prime}} = 4.5.\cos 60^{{^\circ}} = 10$

$| \overset{\rightarrow}{AC^{\prime}} |^2 = AB^{2} + AD^{2} + A{A'}^{2} + 2(\overset{\rightarrow}{AB} \cdot \overset{\rightarrow}{AD} + \overset{\rightarrow}{AB} \cdot \overset{\rightarrow}{AA^{\prime}} + \overset{\rightarrow}{AD} \cdot \overset{\rightarrow}{AA^{\prime}}) = 85$

$\left. \Rightarrow | \overset{\rightarrow}{AC^{\prime}} | = \sqrt{85} \right.$.

$| \overset{\rightarrow}{D^{\prime}C} |^2 = AB^{2} + A{A'}^{2} - 2\overset{\rightarrow}{AB} \cdot \overset{\rightarrow}{AA^{\prime}} = 9 + 25 - 15 = 19$

$\Rightarrow | \overset{\rightarrow}{D^{\prime}C} | = \sqrt{19}$

Tích vô hướng:

$\begin{array}{l} {\overset{\rightarrow}{AC^{\prime}} \cdot \overset{\rightarrow}{D^{\prime}C} = (\overset{\rightarrow}{AB} + \overset{\rightarrow}{AD} + \overset{\rightarrow}{AA^{\prime}}) \cdot (\overset{\rightarrow}{AB} - \overset{\rightarrow}{AA^{\prime}})} \\ {= AB^{2} - \overset{\rightarrow}{AB} \cdot \overset{\rightarrow}{AA^{\prime}} + \overset{\rightarrow}{AD} \cdot \overset{\rightarrow}{AB} - \overset{\rightarrow}{AD} \cdot \overset{\rightarrow}{AA^{\prime}} + \overset{\rightarrow}{AA^{\prime}} \cdot \overset{\rightarrow}{AB} - A{A'}^{2}} \end{array}$

$= 9 - 7,5 + 0 - 10 + 7,5 - 25 = - 26$

$\Rightarrow \cos(\overset{\rightarrow}{AC^{\prime}},\overset{\rightarrow}{D^{\prime}C}) = \dfrac{- 26}{\sqrt{85} \cdot \sqrt{19}}$

Vậy $(\overset{\rightarrow}{AC^{\prime}},\overset{\rightarrow}{D^{\prime}C}) \approx 130^o$.

Đáp án cần điền là: 130

Group 2K8 ôn Thi ĐGNL & ĐGTD Miễn Phí

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> 2K9 Chú ý! Lộ Trình Sun 2027 - 1 lộ trình ôn đa kỳ thi (TN THPT, ĐGNL (Hà Nội/ Hồ Chí Minh), ĐGNL Sư Phạm, ĐGTD, ĐGNL Bộ Công an, ĐGNL Bộ Quốc phòngTD - Click xem ngay) tại Tuyensinh247.com. Cập nhật bám sát bộ SGK mới, Thầy Cô giáo giỏi, 3 bước chi tiết: Nền tảng lớp 12; Luyện thi chuyên sâu; Luyện đề đủ dạng đáp ứng mọi kì thi.