Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho parabol (P) có phương trình $y = ax^{2}$ và đường thẳng (d) có

Câu hỏi số 960625:

Vận dụng

Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho parabol (P) có phương trình $y = ax^{2}$ và đường thẳng (d) có phương trình $y = bx - 1$ (với a,b là các tham số). Tìm các số hữu tỉ a,b để đường thẳng (d) cắt parabol (P) tại hai điểm phân biệt sao cho hoành độ một điểm là $x = \dfrac{\sqrt{5} - \sqrt{3}}{\sqrt{5} + \sqrt{3}}$.

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:960625

Phương pháp giải

- Trục căn thức ở mẫu để rút gọn hoành độ giao điểm x.

- Viết phương trình hoành độ giao điểm của (P) và (d).

- Thay nghiệm x vừa rút gọn vào phương trình hoành độ giao điểm, nhóm các hạng tử chứa căn và không chứa căn để giải hệ phương trình dựa trên điều kiện a, b là các số hữu tỉ.

Giải chi tiết

Ta có: $x = \dfrac{\sqrt{5} - \sqrt{3}}{\sqrt{5} + \sqrt{3}} = \dfrac{{(\sqrt{5} - \sqrt{3})}^{2}}{5 - 3} = \dfrac{8 - 2\sqrt{15}}{2} = 4 - \sqrt{15}$.

Dễ thấy $a \neq 0$ (vì nếu $a = 0$ thì (d) cắt (P) tại nhiều nhất một điểm).

Xét phương trình hoành độ giao điểm của (P) và (d): $\left. ax^{2} = bx - 1\Leftrightarrow ax^{2} - bx + 1 = 0 \right.$ (1).

Do (d) cắt (P) tại hai điểm phân biệt nên phương trình (1) có hai nghiệm phân biệt, hay $\left. \Delta > 0\Leftrightarrow b^{2} - 4a > 0 \right.$.

Vì hoành độ một điểm là $x = 4 - \sqrt{15}$ là nghiệm của phương trình (1) nên: $a{(4 - \sqrt{15})}^{2} - b(4 - \sqrt{15}) + 1 = 0$.

$\left. \Leftrightarrow a(31 - 8\sqrt{15}) - 4b + \sqrt{15}b + 1 = 0 \right.$

$\left. \Leftrightarrow 31a - 8\sqrt{15}a - 4b + \sqrt{15}b + 1 = 0 \right.$.

$\left. \Leftrightarrow\sqrt{15}(b - 8a) = 4b - 31a - 1 \right.$.

Nếu $\left. b - 8a \neq 0\Rightarrow\sqrt{15} = \dfrac{4b - 31a - 1}{b - 8a} \right.$ (2).

Vì a, b là các số hữu tỉ nên vế phải của (2) là số hữu tỉ, trong khi vế trái là số vô tỉ, điều này vô lý.

Do đó, phải có $b - 8a = 0$, suy ra $4b - 31a - 1 = 0$.

Ta có hệ phương trình: $\left\{ \begin{array}{l} {b = 8a} \\ {4b - 31a - 1 = 0} \end{array} \right.$

Thay $b = 8a$ vào phương trình dưới:

$\left. 4(8a) - 31a - 1 = 0\Leftrightarrow a = 1 \right.$.

Suy ra $b = 8$.

Thử lại điều kiện $b^{2} - 4a = 8^{2} - 4(1) = 60 > 0$ (thỏa mãn).

Vậy $(a,b) = (1,8)$.

Tham Gia Group Dành Cho Học Sinh Lớp 9 - Ôn Thi Vào Lớp 10

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> Học trực tuyến lớp 9 và Lộ trình UP10 trên Tuyensinh247.com . Học online tại nhà cũng giáo viên giỏi từ trường TOP đầu cả nước. Lộ trình học tập 3 giai đoạn: Học nền tảng lớp 9, Ôn thi vào lớp 10, Luyện Đề. Bứt phá điểm lớp 9, thi vào lớp 10 kết quả cao. Hoàn trả học phí nếu học không hiệu quả. Phụ huynh và học sinh tham khảo chi tiết khoá học tại: Link