a) (1,0 điểm). Nhân dịp Ngày Quốc tế lao động 1/5, một siêu thị điện máy đã giảm giá

Câu hỏi số 961235:

Vận dụng

a) (1,0 điểm). Nhân dịp Ngày Quốc tế lao động 1/5, một siêu thị điện máy đã giảm giá nhiều mặt hàng để kích cầu mua sắm. Tổng số tiền theo giá niêm yết của một chiếc điều hòa nhiệt độ và một chiếc ti vi là 25 triệu đồng. Tuy nhiên, trong dịp này giá một chiếc điều hòa nhiệt độ giảm 35% so với giá niêm yết và giá một chiếc ti vi giảm 30% so với giá niêm yết. Vì thế, cô Hoa đã mua một chiếc điều hòa nhiệt độ và một chiếc ti vi với tổng số tiền là 16 750 000 đồng. Hỏi giá niêm yết mỗi mặt hàng trên là bao nhiêu?

b) (1,0 điểm). Cho phương trình $x^{2} + 2mx - m^{2} - 2 = 0$ với m là tham số khác 0. Chứng minh rằng phương trình luôn có hai nghiệm $x_{1},x_{2}$ trái dấu thỏa mãn $x_{1} > 0 > x_{2}$ và $\dfrac{1}{\sqrt{x_{2}^{2}} + \sqrt{- x_{1}x_{2}}} + \dfrac{1}{\sqrt{x_{2}^{2}} - \sqrt{- x_{1}x_{2}}} = \dfrac{1}{m}$.

c) (0,5 điểm). Cho hai đa thức $P(x) = x^{3} + x + 1$ và $Q(x) = x^{4} - x^{3} + x^{2} + 2025$. Giả sử số thực a là một nghiệm của đa thức $P(x)$. Tính giá trị của biểu thức $Q(a)$.

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:961235

Phương pháp giải

a) Lập hệ phương trình bậc nhất hai ẩn x, y ứng với giá niêm yết của điều hòa và ti vi.

b) Tính $\Delta$ để chứng minh phương trình luôn có hai nghiệm phân biệt. Sử dụng định lí Viète để nhận xét dấu của hai nghiệm. Từ giả thiết $x_{2} < 0$, chú ý khử căn $\sqrt{x_{2}^{2}} = - x_{2}$ và trục căn thức biểu thức đề cho.

c) Thay $a$ vào $Q(a)$, sử dụng phép tách hạng tử để làm xuất hiện nhân tử $a^{3} + a + 1 = 0$ từ phương trình $P(a) = 0$.

Giải chi tiết

a) Gọi giá niêm yết của một chiếc điều hòa nhiệt độ, ti vi lần lượt là $x$ (triệu đồng), $y$ (triệu đồng) ($x > 0,y > 0$).

Tổng giá niêm yết của hai mặt hàng là 25 triệu đồng nên ta có phương trình: $x + y = 25$.

Giá thực tế của chiếc điều hòa sau khi giảm 35% là: $x \cdot \dfrac{100 - 35}{100} = 0,65x$ (triệu đồng).

Giá thực tế của chiếc ti vi sau khi giảm 30% là: $y \cdot \dfrac{100 - 30}{100} = 0,7y$ (triệu đồng).

Tổng số tiền cô Hoa đã trả là 16 750 000 đồng (16,75 triệu đồng) nên ta có phương trình: $0,65x + 0,7y = 16,75$.

Ta có hệ phương trình: $\left\{ \begin{array}{l} {x + y = 25_{}(1)} \\ {0,65x + 0,7y = 16,75_{}(2)} \end{array} \right.$

Từ phương trình (1), ta có: $y = 25 - x$.

Thay vào phương trình (2) ta được:

$0,65x + 0,7(25 - x) = 16,75$

$0,65x + 17,5 - 0,7x = 16,75$

$- 0,05x = - 0,75$

$x = 15$.

Thế $x = 15$ vào $y = 25 - x$, ta có $y = 25 - 15 = 10$ (thỏa mãn điều kiện).

Vậy giá niêm yết của điều hòa nhiệt độ là 15 triệu đồng, của ti vi là 10 triệu đồng.

b) Ta có $\Delta' = m^{2} - 1 \cdot ( - m^{2} - 2) = 2m^{2} + 2 > 0$ với mọi m.

Nên phương trình luôn có hai nghiệm phân biệt $x_{1},x_{2}$.

Theo định lí Viète, ta có $x_{1} \cdot x_{2} = - m^{2} - 2 < 0$, suy ra phương trình luôn có hai nghiệm trái dấu thỏa mãn $x_{1} > 0 > x_{2}$ (theo giả thiết).

Mặt khác, $x_{1} + x_{2} = - 2m$.

Biến đổi biểu thức vế trái:

$\dfrac{1}{\sqrt{x_{2}^{2}} + \sqrt{- x_{1}x_{2}}} + \dfrac{1}{\sqrt{x_{2}^{2}} - \sqrt{- x_{1}x_{2}}} = \dfrac{(\sqrt{x_{2}^{2}} - \sqrt{- x_{1}x_{2}}) + (\sqrt{x_{2}^{2}} + \sqrt{- x_{1}x_{2}})}{(\sqrt{x_{2}^{2}} + \sqrt{- x_{1}x_{2}})(\sqrt{x_{2}^{2}} - \sqrt{- x_{1}x_{2}})} = \dfrac{2\sqrt{x_{2}^{2}}}{x_{2}^{2} - ( - x_{1}x_{2})} = \dfrac{2\sqrt{x_{2}^{2}}}{x_{2}^{2} + x_{1}x_{2}}$$$

Vì $x_{2} < 0$ nên $\sqrt{x_{2}^{2}} = - x_{2}$. Thay vào ta được:

$= \dfrac{- 2x_{2}}{x_{2}(x_{2} + x_{1})} = \dfrac{- 2}{x_{2} + x_{1}} = \dfrac{- 2}{- 2m} = \dfrac{1}{m}$ (điều phải chứng minh).

c) Do a là một nghiệm của $P(x)$ nên ta có $a^{3} + a + 1 = 0$.

Ta có: $Q(a) = a^{4} - a^{3} + a^{2} + 2025$

$= a^{4} + a^{2} + a - a^{3} - a - 1 + 2026$

$= a(a^{3} + a + 1) - (a^{3} + a + 1) + 2026$

$= (a - 1)(a^{3} + a + 1) + 2026$

Thay $a^{3} + a + 1 = 0$ vào $Q(a)$, ta được:

$Q(a) = (a - 1) \cdot 0 + 2026 = 2026$.

PH/HS 2K10 THAM GIA NHÓM ĐỂ CẬP NHẬT ĐIỂM THI, ĐIỂM CHUẨN MIỄN PHÍ!

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> Học trực tuyến lớp 9 và Lộ trình UP10 trên Tuyensinh247.com Đầy đủ khoá học các bộ sách: Kết nối tri thức với cuộc sống; Chân trời sáng tạo; Cánh diều. Lộ trình học tập 3 giai đoạn: Học nền tảng lớp 9, Ôn thi vào lớp 10, Luyện Đề. Bứt phá điểm lớp 9, thi vào lớp 10 kết quả cao. Hoàn trả học phí nếu học không hiệu quả. PH/HS tham khảo chi tiết khoá học tại: Link