Cho tam giác ABC cân tại A và nội tiếp đường tròn (O). Gọi M là trung điểm của cạnh BC. Lấy

Câu hỏi số 961236:

Vận dụng

Cho tam giác ABC cân tại A và nội tiếp đường tròn (O). Gọi M là trung điểm của cạnh BC. Lấy điểm D tùy ý nằm trên cung AC không chứa điểm B (D khác A và C). Gọi H là hình chiếu vuông góc của điểm A trên đường thẳng BD.

a) (0,5 điểm). Chứng minh rằng bốn điểm A, B, M, H cùng thuộc một đường tròn.

b) (1,0 điểm). Chứng minh rằng MH vuông góc với AD.

c) (1,0 điểm). Cho $\widehat{BAC} = 40^{{^\circ}}$, tính $\dfrac{BD - CD}{AH}$ (làm tròn kết quả đến hàng phần mười).

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:961236

Phương pháp giải

a) Dùng tính chất tam giác cân có đường trung tuyến đồng thời là đường cao để tìm góc $90^{{^\circ}}$. Xét các tứ giác có tổng hai góc đối hoặc hai góc kề cùng nhìn một cạnh bằng $90^{{^\circ}}$.

b) Kẻ đường kính AN để tạo góc vuông nội tiếp. Sử dụng tính chất các góc nội tiếp cùng chắn một cung trong các đường tròn để chứng minh quan hệ phụ nhau.

c) Tạo điểm phụ K trên BD sao cho BK = CD. Chứng minh tam giác ABK bằng tam giác ACD để tạo tam giác ADK cân. Tận dụng cặp tam giác đồng dạng AHD và AMC để đưa tỉ số độ dài về tỉ số lượng giác.

Giải chi tiết

a) Do A và M cùng cách đều hai điểm B, C (do tam giác ABC cân tại A có M là trung điểm) nên AM là đường trung trực của BC, suy ra $AM\bot BC$.

Tam giác AMB vuông tại M nên nội tiếp đường tròn đường kính AB.

Tam giác AHB vuông tại H (do $AH\bot BD$) nên nội tiếp đường tròn đường kính AB.

Vậy bốn điểm A, B, M, H cùng thuộc đường tròn đường kính AB.

b) Do tam giác ABC cân tại A nên A, O, M thẳng hàng (cùng thuộc trung trực của BC).

Kẻ đường kính AN của đường tròn (O). Khi đó $\widehat{ADN} = 90^{{^\circ}}$ (góc nội tiếp chắn nửa đường tròn).

Do tứ giác ABMH nội tiếp (chứng minh câu a) nên $\widehat{AMH} = \widehat{ABH}$ (1).

Do tứ giác ABND nội tiếp đường tròn (O) nên $\widehat{ABD} = \widehat{AND}$ (cùng chắn cung AD) (2).

Từ (1) và (2) suy ra $\widehat{AMH} = \widehat{AND}$.

Khi đó xét tam giác vuông AND có $\widehat{AMH} + \widehat{MAD} = \widehat{AND} + \widehat{NAD} = 90^{{^\circ}}$.

Từ đó suy ra đường thẳng MH vuông góc với đường thẳng AD.

c) Nhận xét: $BD > CD$ (do $\widehat{CBD} < \widehat{ABC} = \widehat{ACB} < \widehat{BCD}$).

Trên đoạn BD lấy điểm K sao cho $BK = CD$.

Xét hai tam giác ABK và ACD có:

$BA = CA$ (tam giác ABC cân tại A)

$\widehat{ABK} = \widehat{ACD}$ (hai góc nội tiếp cùng chắn cung AD)

$BK = CD$ (cách dựng)

Suy ra $\Delta ABK = \Delta ACD$ (c - g - c).

Từ đó suy ra $AK = AD$, vậy tam giác ADK cân tại A.

Tam giác ADK cân tại A có AH là đường cao nên đồng thời là trung tuyến, do đó $HD = HK$.

Ta có: $\dfrac{BD - CD}{AH} = \dfrac{BD - BK}{AH} = \dfrac{DK}{AH} = \dfrac{2DH}{AH}$.

Hai tam giác AHD và AMC đồng dạng với nhau (g - g) vì có $\widehat{AHD} = \widehat{AMC} = 90^{{^\circ}}$ và $\widehat{ADH} = \widehat{ACM}$ (cùng chắn cung AB).

Suy ra $\dfrac{HD}{HA} = \dfrac{MC}{MA} = \tan\widehat{MAC}$.

Tam giác ABC cân tại A có AM là phân giác nên $\widehat{MAC} = \dfrac{1}{2}\widehat{BAC} = \dfrac{1}{2} \cdot 40^{{^\circ}} = 20^{{^\circ}}$.

Suy ra $\dfrac{BD - CD}{AH} = 2\tan 20^{{^\circ}} \approx 0,7$.

PH/HS 2K10 THAM GIA NHÓM ĐỂ CẬP NHẬT ĐIỂM THI, ĐIỂM CHUẨN MIỄN PHÍ!

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> Học trực tuyến lớp 9 và Lộ trình UP10 trên Tuyensinh247.com Đầy đủ khoá học các bộ sách: Kết nối tri thức với cuộc sống; Chân trời sáng tạo; Cánh diều. Lộ trình học tập 3 giai đoạn: Học nền tảng lớp 9, Ôn thi vào lớp 10, Luyện Đề. Bứt phá điểm lớp 9, thi vào lớp 10 kết quả cao. Hoàn trả học phí nếu học không hiệu quả. PH/HS tham khảo chi tiết khoá học tại: Link