Tốc độ thay đổi của số lượng vi khuẩn trong 1 ml nước ở hồ bơi X tại thời điểm t

Câu hỏi số 961926:

Vận dụng

Tốc độ thay đổi của số lượng vi khuẩn trong 1 ml nước ở hồ bơi X tại thời điểm t (ngày) kể từ lúc hồ nước được xử lý được mô hình bởi hàm số $f(t) = \dfrac{1000}{{(1 + 0,2t)}^{2}}$ (con/ngày), $t \geq 0$. Biết rằng số lượng vi khuẩn ban đầu là 500 con trên mỗi ml nước và mức độ an toàn cho người sử dụng hồ bơi là số vi khuẩn phải dưới 3000 con trên mỗi ml nước. Hỏi sau bao nhiêu ngày thì người ta phải xử lí và thay nước mới cho hồ bơi.

Trả lời:

Đáp án đúng là:

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:961926

Phương pháp giải

Gọi số lượng vi khuẩn tại thời điểm t là $N(t)$. Khi đó tốc độ thay đổi số lượng vi khuẩn chính là đạo hàm của hàm số lượng vi khuẩn theo thời gian, tức là $N'(t) = f(t)$.

Tìm hàm số lượng vi khuẩn bằng cách tính tích phân: $N(t) = {\int f}(t)dt$.

Sử dụng dữ kiện số lượng vi khuẩn ban đầu $N(0)$ để tìm hằng số $C$.

Để tìm thời gian cần thay nước, ta giải phương trình $N(t) = 3000$ để tìm t.

Giải chi tiết

Gọi $N(t)$ là số lượng vi khuẩn trong 1 ml nước tại thời điểm $t$ (ngày).

Ta có $N'(t) = f(t) = \dfrac{1000}{{(1 + 0,2t)}^{2}}$.

Hàm số biểu diễn số lượng vi khuẩn tại thời điểm $t$ là nguyên hàm của $f(t)$:

$N(t) = {\int\dfrac{1000}{{(1 + 0,2t)}^{2}}}dt = {\int 1}000{(1 + 0,2t)}^{- 2}dt$

$N(t) = 1000 \cdot \dfrac{1}{0,2} \cdot \dfrac{{(1 + 0,2t)}^{- 1}}{- 1} + C = - \dfrac{5000}{1 + 0,2t} + C$.

Theo giả thiết, số lượng vi khuẩn ban đầu là 500 con/ml, nên ta có $N(0) = 500$.

Thay $t = 0$ vào phương trình của $N(t)$, ta được:

$\left. - \dfrac{5000}{1 + 0} + C = 500\Leftrightarrow - 5000 + C = 500\Leftrightarrow C = 5500 \right.$.

Vậy hàm số biểu diễn số lượng vi khuẩn là: $N(t) = 5500 - \dfrac{5000}{1 + 0,2t}$.

Người ta phải xử lý và thay nước mới khi số lượng vi khuẩn đạt tới mức 3000 con/ml.

Cho $N(t) = 3000$, ta có: $5500 - \dfrac{5000}{1 + 0,2t} = 3000$

$\left. \Leftrightarrow\dfrac{5000}{1 + 0,2t} = 2500 \right.$

$\left. \Leftrightarrow 1 + 0,2t = 2 \right.$

$\left. \Leftrightarrow t = 5 \right.$ (thỏa mãn điều kiện $t \geq 0$).

Vậy sau 5 ngày thì người ta phải xử lí và thay nước mới cho hồ bơi.

Đáp án cần điền là: 5

Group 2K8 ôn Thi ĐGNL & ĐGTD Miễn Phí

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> 2K8 Chú ý! Lộ Trình Sun 2026 - 3IN1 - 1 lộ trình ôn 3 kì thi (Luyện thi 26+ TN THPT, 90+ ĐGNL HN, 900+ ĐGNL HCM, 70+ ĐGTD - Click xem ngay) tại Tuyensinh247.com.Đầy đủ theo 3 đầu sách, Thầy Cô giáo giỏi, luyện thi theo 3 giai đoạn: Nền tảng lớp 12, Luyện thi chuyên sâu, Luyện đề đủ dạng đáp ứng mọi kì thi.