Cho tập $S = \left\{ 1;2;...;20 \right\}$ gồm 20 số tự nhiên từ 1 đến 20. Lấy ngẫu nhiên 3 số

Câu hỏi số 961927:

Vận dụng

Cho tập $S = \left\{ 1;2;...;20 \right\}$ gồm 20 số tự nhiên từ 1 đến 20. Lấy ngẫu nhiên 3 số khác nhau thuộc S. Xác suất để 3 số lấy ra lập thành cấp số cộng hoặc cấp số nhân là $\dfrac{a}{b}$ (với $\dfrac{a}{b}$ là phân số tối giản, $a,b \in {\mathbb{N}}^{*}$). Tính $b - a$.

Trả lời:

Đáp án đúng là:

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:961927

Phương pháp giải

Tính số phần tử của không gian mẫu: $n(\Omega) = C_{n}^{k}$.

Gọi biến cố A: "3 số lấy ra lập thành cấp số cộng hoặc cấp số nhân".

Đếm số tập con gồm 3 phần tử lập thành cấp số cộng: Sử dụng tính chất của cấp số cộng $x + z = 2y$, suy ra x và z phải cùng tính chẵn lẻ.

Đếm số tập con gồm 3 phần tử lập thành cấp số nhân: Sử dụng tính chất của cấp số nhân $xz = y^{2}$ và liệt kê các trường hợp thỏa mãn.

Tính xác suất của biến cố: $P(A) = \dfrac{n(A)}{n(\Omega)}$.

Giải chi tiết

Số phần tử của không gian mẫu (số cách lấy ngẫu nhiên 3 số khác nhau từ tập S gồm 20 số) là: $n(\Omega) = C_{20}^{3} = 1140$.

Gọi A là biến cố: "3 số lấy ra lập thành cấp số cộng hoặc cấp số nhân".

Ta chia thành 2 trường hợp:

Trường hợp 1: 3 số được chọn lập thành cấp số cộng.

Giả sử 3 số chọn ra là x, y, z với $x < y < z$.

Để 3 số lập thành cấp số cộng thì $x + z = 2y$.

Do 2y luôn là số chẵn nên x và z phải cùng tính chẵn lẻ (cùng chẵn hoặc cùng lẻ).

Tập S có 10 số chẵn. Số cách chọn 2 số chẵn bất kỳ là $C_{10}^{2} = 45$ cách.

Với mỗi cách chọn x, z, ta luôn tìm được duy nhất 1 giá trị $y \in S$ thỏa mãn.

Tập S có 10 số lẻ. Số cách chọn 2 số lẻ bất kỳ là $C_{10}^{2} = 45$ cách.

Tương tự, mỗi cách chọn luôn cho 1 giá trị $y \in S$ thỏa mãn.

Số tập con gồm 3 phần tử lập thành cấp số cộng là: $45 + 45 = 90$ bộ (x, y, z)

Trường hợp 2: 3 số được chọn lập thành cấp số nhân.

Giả sử 3 số chọn ra là x, y, z với $x < y < z$.

Để 3 số lập thành cấp số nhân thì $xz = y^{2}$.

Ta liệt kê các trường hợp bằng cách xét các giá trị của y:

$\left. y = 2\Rightarrow xz = 4\Rightarrow x = 1,z = 4 \right.$. Có $1$ tập: $\left\{ 1;2;4 \right\}$.

$\left. y = 3\Rightarrow xz = 9\Rightarrow x = 1,z = 9 \right.$. Có $1$ tập: $\left\{ 1;3;9 \right\}$.

$\left. y = 4\Rightarrow xz = 16\Rightarrow(x,z) \in \left\{ (1,16);(2,8) \right\} \right.$. Có $2$ tập: $\left\{ 1;4;16 \right\},\left\{ 2;4;8 \right\}$.

$\left. y = 5\Rightarrow xz = 25 \right.$ (không có $x \neq z$ thỏa mãn).

$\left. y = 6\Rightarrow xz = 36\Rightarrow(x,z) \in \left\{ (2,18);(3,12);(4,9) \right\} \right.$. Có $3$ tập: $\left\{ 2;6;18 \right\},\left\{ 3;6;12 \right\},\left\{ 4;6;9 \right\}$.

$\left. y = 8\Rightarrow xz = 64\Rightarrow x = 4,z = 16 \right.$. Có $1$ tập: $\left\{ 4;8;16 \right\}$.

$\left. y = 10\Rightarrow xz = 100\Rightarrow x = 5,z = 20 \right.$. Có $1$ tập: $\left\{ 5;10;20 \right\}$.

$\left. y = 12\Rightarrow xz = 144\Rightarrow(x,z) \in \left\{ (8,18);(9,16) \right\} \right.$. Có $2$ tập: $\left\{ 8;12;18 \right\},\left\{ 9;12;16 \right\}$.

Với $y \geq 13$, lớn nhất ta có $xz \leq 19 \times 20 = 380$, nhưng $y^{2} \geq 169$. Các phép phân tích thành tích hai số nhỏ hơn hoặc bằng 20 không thỏa mãn yêu cầu.

Số tập con gồm 3 phần tử lập thành cấp số nhân là: 1 + 1 + 2 + 3 + 1 + 1 + 2 = 11 (tập).

Lưu ý: Không có tập 3 số phân biệt nào vừa lập thành cấp số cộng vừa lập thành cấp số nhân.

Do đó, số kết quả thuận lợi cho biến cố A là: $n(A) = 90 + 11 = 101$.

Xác suất cần tìm là $P(A) = \dfrac{101}{1140}$.

Vì phân số $\dfrac{101}{1140}$ đã là phân số tối giản nên $a = 101,b = 1140$.

Suy ra $b - a = 1140 - 101 = 1039$.

Đáp án cần điền là: 1039

Group 2K8 ôn Thi ĐGNL & ĐGTD Miễn Phí

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> 2K8 Chú ý! Lộ Trình Sun 2026 - 3IN1 - 1 lộ trình ôn 3 kì thi (Luyện thi 26+ TN THPT, 90+ ĐGNL HN, 900+ ĐGNL HCM, 70+ ĐGTD - Click xem ngay) tại Tuyensinh247.com.Đầy đủ theo 3 đầu sách, Thầy Cô giáo giỏi, luyện thi theo 3 giai đoạn: Nền tảng lớp 12, Luyện thi chuyên sâu, Luyện đề đủ dạng đáp ứng mọi kì thi.