Cho hình lập phương ABCD.A'B'C'D' có cạnh bằng 30 cm. Giả sử hai chú kiến vàng và đen xuất phát

Câu hỏi số 961928:

Vận dụng

Cho hình lập phương ABCD.A'B'C'D' có cạnh bằng 30 cm. Giả sử hai chú kiến vàng và đen xuất phát cùng một lúc tại các vị trí A và D, kiến vàng đi thẳng từ A đến D' với vận tốc 1 cm/s và kiến đen đi thẳng từ D đến B với vận tốc 2 cm/s. Hỏi sau bao nhiêu giây kể từ khi bắt đầu xuất phát, khoảng cách giữa hai con kiến là bé nhất? (Kết quả làm tròn đến hàng đơn vị).

Trả lời:

Đáp án đúng là:

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:961928

Phương pháp giải

Sử dụng phương pháp tọa độ trong không gian Oxyz

Gắn hệ trục tọa độ vào hình lập phương.

Tìm vectơ chỉ phương và phương trình chuyển động của hai con kiến (tọa độ theo tham số thời gian t).

Thiết lập hàm số tính bình phương khoảng cách giữa hai con kiến theo ẩn t.

Tìm giá trị nhỏ nhất của hàm số bậc hai để suy ra thời điểm t.

Giải chi tiết

Gắn hệ trục tọa độ Oxyz sao cho gốc tọa độ trùng với đỉnh $A(0;0;0)$. Các tia Ax, Ay, Az lần lượt chứa các cạnh AB, AD, AA'.

Khi đó, các đỉnh của hình lập phương có tọa độ là: $A(0;0;0)$, $B(30;0;0)$, $D(0;30;0)$, $A'(0;0;30)$.

Từ đó suy ra đỉnh D' có tọa độ $D'(0;30;30)$.

Phân tích chuyển động của kiến vàng (từ A đến D'):

Vectơ chỉ phương hướng di chuyển: $\overset{\rightarrow}{AD^{\prime}} = (0;30;30)$.

Quãng đường $AD' = \sqrt{0^{2} + 30^{2} + 30^{2}} = 30\sqrt{2}\text{~(cm)}$.

Vectơ đơn vị chỉ hướng di chuyển của kiến vàng: ${\overset{\rightarrow}{u}}_{1} = \dfrac{1}{30\sqrt{2}}\overset{\rightarrow}{AD^{\prime}} = \left( {0;\dfrac{1}{\sqrt{2}};\dfrac{1}{\sqrt{2}}} \right)$.

Gọi $M(t)$ là vị trí của kiến vàng tại thời điểm $t$ (giây).

Vì vận tốc $v_{1} = 1\text{~cm/s}$ nên quãng đường đi được sau $t$ giây là $1 \cdot t = t$.

Tọa độ $M(t)$ thỏa mãn: $\left. \overset{\rightarrow}{AM} = t \cdot {\overset{\rightarrow}{u}}_{1} = \left( {0;\dfrac{t}{\sqrt{2}};\dfrac{t}{\sqrt{2}}} \right)\Rightarrow M\left( {0;\dfrac{t}{\sqrt{2}};\dfrac{t}{\sqrt{2}}} \right) \right.$.

Phân tích chuyển động của kiến đen (từ D đến B):

Vectơ chỉ phương hướng di chuyển: $\overset{\rightarrow}{DB} = (30; - 30;0)$.

Quãng đường $DB = \sqrt{30^{2} + {( - 30)}^{2} + 0^{2}} = 30\sqrt{2}\text{~(cm)}$.

Vectơ đơn vị chỉ hướng di chuyển của kiến đen: ${\overset{\rightarrow}{u}}_{2} = \dfrac{1}{30\sqrt{2}}\overset{\rightarrow}{DB} = \left( {\dfrac{1}{\sqrt{2}}; - \dfrac{1}{\sqrt{2}};0} \right)$.

Gọi $N(t)$ là vị trí của kiến đen tại thời điểm t (giây).

Vì vận tốc $v_{2} = 2\text{~cm/s}$ nên quãng đường đi được sau $t$ giây là $2 \cdot t = 2t$.

Tọa độ $N(t)$ thỏa mãn: $\overset{\rightarrow}{DN} = 2t \cdot {\overset{\rightarrow}{u}}_{2} = \left( {t\sqrt{2}; - t\sqrt{2};0} \right)$.

Điểm xuất phát là $D(0;30;0)$, suy ra tọa độ điểm $N$:

$\left. N = D + \overset{\rightarrow}{DN}\Rightarrow N\left( {t\sqrt{2};30 - t\sqrt{2};0} \right) \right.$.

Khoảng cách giữa hai con kiến tại thời điểm t là độ dài đoạn thẳng MN.

$MN^{2} = {(t\sqrt{2} - 0)}^{2} + \left( {30 - t\sqrt{2} - \dfrac{t}{\sqrt{2}}} \right)^{2} + \left( {0 - \dfrac{t}{\sqrt{2}}} \right)^{2}$

$MN^{2} = 2t^{2} + \left( {30 - \dfrac{3\sqrt{2}}{2}t} \right)^{2} + \dfrac{1}{2}t^{2}$

$MN^{2} = 2t^{2} + 900 - 90\sqrt{2}t + \dfrac{18}{4}t^{2} + \dfrac{1}{2}t^{2}$

$MN^{2} = 2t^{2} + 900 - 90\sqrt{2}t + \dfrac{9}{2}t^{2} + \dfrac{1}{2}t^{2}$

$MN^{2} = 7t^{2} - 90\sqrt{2}t + 900$

Đây là một tam thức bậc hai theo biến $t$ với hệ số $a = 7 > 0$.

Hàm số đạt giá trị nhỏ nhất tại đỉnh parabol: $t = - \dfrac{b}{2a} = \dfrac{90\sqrt{2}}{2 \cdot 7} = \dfrac{45\sqrt{2}}{7}\text{~(giây)}$.

(Kiểm tra tính hợp lý: Kiến vàng tới đích sau $\approx 42,4\text{~s}$, kiến đen tới đích sau $\approx 21,2\text{~s}$. Thời điểm $t = \dfrac{45\sqrt{2}}{7} \approx 9,09\text{~s}$ hoàn toàn thỏa mãn điều kiện cả hai chưa kết thúc hành trình).

Theo yêu cầu đề bài, kết quả được làm tròn đến hàng đơn vị: $t \approx 9,091 \approx 9$.

Đáp án cần điền là: 9

Group 2K8 ôn Thi ĐGNL & ĐGTD Miễn Phí

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> 2K8 Chú ý! Lộ Trình Sun 2026 - 3IN1 - 1 lộ trình ôn 3 kì thi (Luyện thi 26+ TN THPT, 90+ ĐGNL HN, 900+ ĐGNL HCM, 70+ ĐGTD - Click xem ngay) tại Tuyensinh247.com.Đầy đủ theo 3 đầu sách, Thầy Cô giáo giỏi, luyện thi theo 3 giai đoạn: Nền tảng lớp 12, Luyện thi chuyên sâu, Luyện đề đủ dạng đáp ứng mọi kì thi.