a. Giải phương trình $x^{4} + \sqrt{x^{2} + 3} = 3$. b. Cho phương trình $x^{2} - 2(m - 1)x - m^{2} - 3 = 0$

Câu hỏi số 962565:

Nhận biết

a. Giải phương trình $x^{4} + \sqrt{x^{2} + 3} = 3$.

b. Cho phương trình $x^{2} - 2(m - 1)x - m^{2} - 3 = 0$ (với m là tham số). Tìm tất cả các giá trị m để phương trình đã cho có hai nghiệm $x_{1},x_{2}$ thỏa mãn $\left| x_{1} \middle| + 2 \middle| x_{2} \middle| = 6 \right.$.

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:962565

Phương pháp giải

- Đưa phương trình về dạng tích hoặc đánh giá các vế để tìm nghiệm.

- Chứng minh phương trình luôn có hai nghiệm phân biệt trái dấu. Áp dụng định lý Vi-et, xét hai trường hợp dấu của nghiệm để giải tham số m.

Giải chi tiết

a. Từ phương trình ban đầu ta có:

$x^{4} - 1 + \sqrt{x^{2} + 3} - 2 = 0$.

$\left. \Leftrightarrow(x^{2} - 1)(x^{2} + 1) + \dfrac{x^{2} - 1}{\sqrt{x^{2} + 3} + 2} = 0 \right.$

$\left. \Leftrightarrow(x^{2} - 1)(x^{2} + 1 + \dfrac{1}{\sqrt{x^{2} + 3} + 2}) = 0 \right.$.

Ta thấy $x^{2} + 1 + \dfrac{1}{\sqrt{x^{2} + 3} + 2} > 0,\forall x \in {\mathbb{R}}$.

Do đó $\left. x^{2} - 1 = 0\Leftrightarrow x = - 1 \right.$ hoặc $x = 1$.

Thử lại ta thấy $x = 1$ và $x = - 1$ đều thỏa mãn phương trình.

Vậy tập nghiệm của phương trình đã cho là $\left. \text{\{}1, - 1 \right\}$.

b. Ta thấy $\Delta' = {(m - 1)}^{2} + m^{2} + 3 > 0,\forall m$.

Suy ra phương trình luôn có hai nghiệm phân biệt $x_{1},x_{2}$.

Theo định lý Vi-et, ta có $x_{1} + x_{2} = 2(m - 1)$ và $x_{1}x_{2} = - m^{2} - 3$.

Ta thấy $x_{1}x_{2} < 0$ nên hai nghiệm này trái dấu.

Trường hợp 1: $x_{1} < 0 < x_{2}$.

Khi đó $6 = - x_{1} + 2x_{2} = - x_{1} + 2(2m - 2 - x_{1}) = - 3x_{1} + 4m - 4$. Suy ra $x_{1} = \dfrac{4m - 10}{3},x_{2} = \dfrac{2m + 4}{3}$. Thay vào tích hai nghiệm: $\dfrac{(4m - 10)(2m + 4)}{9} = - m^{2} - 3$.

Hay $17m^{2} - 4m - 13 = 0$ thì $m = 1$ hoặc $m = - \dfrac{13}{17}$.

Trường hợp 2: $x_{2} < 0 < x_{1}$.

Khi đó $6 = x_{1} - 2x_{2} = x_{1} - 2(2m - 2 - x_{1}) = 3x_{1} - 4m + 4$.

Suy ra $x_{1} = \dfrac{4m + 2}{3},x_{2} = \dfrac{2m - 8}{3}$.

Thay vào tích hai nghiệm: $\dfrac{(4m + 2)(2m - 8)}{9} = - m^{2} - 3$.

Hay $17m^{2} - 28m + 11 = 0$ thì $m = 1$ hoặc $m = \dfrac{11}{17}$.

Thử lại các giá trị $m = 1,m = - \dfrac{13}{17},m = \dfrac{11}{17}$ đều thỏa mãn.

Vậy $m \in \left\{ 1; - \dfrac{13}{17};\dfrac{11}{17} \right\}$.

Tham Gia Group Dành Cho Học Sinh Lớp 9 - Ôn Thi Vào Lớp 10

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> Học trực tuyến lớp 9 và Lộ trình UP10 trên Tuyensinh247.com . Học online tại nhà cũng giáo viên giỏi từ trường TOP đầu cả nước. Lộ trình học tập 3 giai đoạn: Học nền tảng lớp 9, Ôn thi vào lớp 10, Luyện Đề. Bứt phá điểm lớp 9, thi vào lớp 10 kết quả cao. Hoàn trả học phí nếu học không hiệu quả. Phụ huynh và học sinh tham khảo chi tiết khoá học tại: Link