Cho đường tròn (O; R) cố định và hai điểm A, B cố định trên đường tròn đó ($AB \neq 2R$).
Cho đường tròn (O; R) cố định và hai điểm A, B cố định trên đường tròn đó ($AB \neq 2R$). Một điểm C di động trên (O; R) sao cho tam giác ABC nhọn. Các đường cao AD, BE, CF cắt nhau tại H. Gọi I là trung điểm của HC. Chứng minh rằng:
a) CDHE là tứ giác nội tiếp đường tròn và OC vuông góc với DE.
b) ID là tiếp tuyến của đường tròn ngoại tiếp tam giác BED.
c) Đoạn thẳng DE có độ dài không đổi.
Quảng cáo
- Sử dụng tính chất đường trung tuyến trong tam giác vuông để chứng minh các điểm cùng cách đều một điểm.
- Dùng biến đổi góc trong đường tròn để chứng minh quan hệ vuông góc và tiếp tuyến.
- Áp dụng tỉ số lượng giác và tam giác đồng dạng để chứng minh độ dài đoạn thẳng không đổi.
a)
Ta thấy do tam giác CEH vuông tại E nên $IC = IH = IE$.
Ta thấy do tam giác CDH vuông tại D nên $IC = IH = ID$.
Từ đó suy ra $IC = IH = ID = IE$ nên C, D, H, E cùng thuộc một đường tròn.
Như vậy tứ giác CDHE nội tiếp.
Ta có $\widehat{OCB} = \dfrac{180^{{^\circ}} - \widehat{BOC}}{2} = 90^{{^\circ}} - \widehat{BAC} = \widehat{ACH}$.
Suy ra $\widehat{OCB} = \widehat{CAH}$ và $\widehat{OCB} + \widehat{CDE} = \widehat{ACH} + \widehat{CAB} = 90^{{^\circ}}$.
Như vậy OC vuông góc DE.
b) Gọi J là trung điểm AB. Bằng cách chứng minh tương tự như trên thì $JE = JD = JA = JB$. Khi đó tứ giác AEDB nội tiếp.
Ta có biến đổi góc: $\widehat{IDJ} = 180^{{^\circ}} - \widehat{CDI} - \widehat{BDJ} = 180^{{^\circ}} - \widehat{DCI} - \widehat{DBA} = 180^{{^\circ}} - 90^{{^\circ}} = 90^{{^\circ}}$.
Suy ra JD vuông góc ID. Mà J là tâm của đường tròn ngoại tiếp tứ giác AEDB.
Do đó ID là tiếp tuyến của đường tròn ngoại tiếp tam giác ABD (cũng chính là đường tròn ngoại tiếp tam giác BED).
c) Ta thấy $\left. \Delta CEB \right.\sim\Delta CDA$ (g.g) suy ra $\left. \dfrac{CD}{CA} = \dfrac{CE}{CB}\Rightarrow\Delta CED \right.\sim\Delta CBA$ (c.g.c).
Khi đó $\dfrac{DE}{AB} = \dfrac{CD}{CA} = \cos\widehat{ACD}$. Ta thấy $\widehat{BCA} = \dfrac{\widehat{AOB}}{2}$ không đổi nên $\cos\widehat{BCA}$ không đổi. Dẫn tới $\dfrac{DE}{AB}$ không đổi.
Vậy DE có độ dài không đổi.
PH/HS 2K10 THAM GIA NHÓM ĐỂ CẬP NHẬT ĐIỂM THI, ĐIỂM CHUẨN MIỄN PHÍ!
>> Học trực tuyến lớp 9 và Lộ trình UP10 trên Tuyensinh247.com Đầy đủ khoá học các bộ sách: Kết nối tri thức với cuộc sống; Chân trời sáng tạo; Cánh diều. Lộ trình học tập 3 giai đoạn: Học nền tảng lớp 9, Ôn thi vào lớp 10, Luyện Đề. Bứt phá điểm lớp 9, thi vào lớp 10 kết quả cao. Hoàn trả học phí nếu học không hiệu quả. PH/HS tham khảo chi tiết khoá học tại: Link
 |
 |
 |
 |
 |
 |
Hỗ trợ - Hướng dẫn
-
024.7300.7989
-
1800.6947
(Thời gian hỗ trợ từ 7h đến 22h)
Email: lienhe@tuyensinh247.com
