a. Tìm tất cả các cặp số nguyên (x; y) thỏa mãn phương trình $(x - y)(x + y) + x^{2}(1 - y) = 17 -

Câu hỏi số 962568:

Vận dụng

a. Tìm tất cả các cặp số nguyên (x; y) thỏa mãn phương trình $(x - y)(x + y) + x^{2}(1 - y) = 17 - 2y$.

b. Tìm tất cả các số nguyên tố p để $\dfrac{p + 1}{2}$ và $\dfrac{p^{2} + 1}{2}$ là các số chính phương.

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:962568

Phương pháp giải

- Đưa phương trình nghiệm nguyên về dạng phương trình ước số.

- Đặt các phân thức bằng bình phương của số nguyên, sử dụng tính chất đồng dư để giới hạn và tìm nghiệm.

Giải chi tiết

a. Giả sử tồn tại cặp số nguyên (x, y) thỏa mãn $(x - y)(x + y) + x^{2}(1 - y) = 17 - 2y$.

Khi đó phương trình trở thành $2x^{2} - y^{2} - x^{2}y + 2y = 17$ hay $(x^{2} + y)(2 - y) = 17$.

Ta chú ý $(x^{2} + y) + (2 - y) = x^{2} + 2 > 0$, nên ta xét hai trường hợp sau:

Trường hợp 1: $\left\{ \begin{array}{l} {x^{2} + y = 1} \\ {2 - y = 17} \end{array} \right.$ thì ta thu được $x^{2} = 16,y = - 15$.

Suy ra $(x,y) = (4, - 15)$ hoặc $(x,y) = ( - 4, - 15)$.

Trường hợp 2: $\left\{ \begin{array}{l} {x^{2} + y = 17} \\ {2 - y = 1} \end{array} \right.$ thì ta thu được $x^{2} = 16,y = 1$.

Suy ra $(x,y) = (4,1)$ hoặc $(x,y) = ( - 4,1)$.

Thử lại các bộ (4, -15), (-4, -15), (4, 1), (-4, 1) đều thỏa mãn.

Vậy (4, -15), (-4, -15), (4, 1), (-4, 1) là các cặp số nguyên cần tìm.

b. Giả sử tồn tại số nguyên tố p sao cho $\dfrac{p + 1}{2}$ và $\dfrac{p^{2} + 1}{2}$ đều là số chính phương.

Ta đặt $x^{2} = \dfrac{p + 1}{2},y^{2} = \dfrac{p^{2} + 1}{2}$ với x, y là các số nguyên dương.

Ta có: $\left\{ \begin{array}{l} {p + 1 = 2x^{2}} \\ {p^{2} + 1 = 2y^{2}} \\ {x < y < p} \end{array} \right.$

Ta thấy $p + 1 \equiv p^{2} + 1 \equiv 1\quad\left( {{mod}p} \right)$ nên $2x^{2} \equiv 2y^{2}\quad\left( {{mod}p} \right)$ và hiển nhiên $p$ lẻ.

Suy ra $(x - y)(x + y) \equiv 0\quad\left( {{mod}p} \right).$

Mà $x < y < p$ nên $y - x$ không chia hết cho $p$, suy ra $x + y$ chia hết cho $p$. Và cũng do $0 < x + y < 2p$ nên $x + y = p$.

Từ đó ta có $p^{2} + 1 = 2{(p - x)}^{2} = 2p^{2} - 4px + 2x^{2} = 2p^{2} - 4px + p + 1.$

Hay $4x = p + 1 = 2x^{2}$, khi đó $x = 2$ do $x$ nguyên dương.

Như vậy $x = 2$ thì $p = 7$ kéo theo $y = 5$.

Vậy số nguyên tố $p$ cần tìm là 7.

PH/HS 2K10 THAM GIA NHÓM ĐỂ CẬP NHẬT ĐIỂM THI, ĐIỂM CHUẨN MIỄN PHÍ!

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> Học trực tuyến lớp 9 và Lộ trình UP10 trên Tuyensinh247.com Đầy đủ khoá học các bộ sách: Kết nối tri thức với cuộc sống; Chân trời sáng tạo; Cánh diều. Lộ trình học tập 3 giai đoạn: Học nền tảng lớp 9, Ôn thi vào lớp 10, Luyện Đề. Bứt phá điểm lớp 9, thi vào lớp 10 kết quả cao. Hoàn trả học phí nếu học không hiệu quả. PH/HS tham khảo chi tiết khoá học tại: Link