Cho hai biểu thức: $B = \dfrac{\sqrt{x} + 2}{\sqrt{x} - 3}$ và $P = \dfrac{2\sqrt{x} - 9}{x - 5\sqrt{x} + 6} -

Câu hỏi số 962597:

Vận dụng

Cho hai biểu thức: $B = \dfrac{\sqrt{x} + 2}{\sqrt{x} - 3}$ và $P = \dfrac{2\sqrt{x} - 9}{x - 5\sqrt{x} + 6} - \dfrac{\sqrt{x} + 3}{\sqrt{x} - 2} + \dfrac{2\sqrt{x} + 1}{\sqrt{x} - 3}$ với $x \geq 0,x \neq 4,x \neq 9$.

1) Tính giá trị của biểu thức $B$ khi $x = 25$.

2) Rút gọn biểu thức $P$.

3) Đặt $M = B - P$. Tìm số nguyên tố $x$ nhỏ nhất để biểu thức $M$ đạt giá trị lớn nhất.

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:962597

Phương pháp giải

1) Kiểm tra xem giá trị $x = a$ có thỏa mãn Điều kiện xác định (ĐKXĐ) hay không sau đó thay vào B và tính toán

2) Phân tích mẫu thức thành nhân tử $x - 5\sqrt{x} + 6 = (\sqrt{x} - 2)(\sqrt{x} - 3)$. Tìm Mẫu thức chung (MTC). Quy đồng và khử mẫu (trên tử). Thu gọn tử thức: Phá ngoặc (chú ý dấu trừ trước ngoặc), nhóm các hạng tử đồng dạng. Rút gọn

3) Thực hiện phép tính $M = B - P$ dựa trên kết quả đã rút gọn.

Đưa M về dạng $M = a + \dfrac{k}{f(x)}$. Xét điều kiện của $x$ ($x \geq 0,x \neq 4,x \neq 9$). Biện luận để phân thức đạt giá trị lớn nhất (thường liên quan đến việc mẫu thức đạt giá trị dương nhỏ nhất).

Giải chi tiết

1) Thay $x = 25$ (Thỏa mãn ĐKXĐ) vào biểu thức $B$, ta có:

$B = \dfrac{\sqrt{25} + 2}{\sqrt{25} - 3}$

$B = \dfrac{5 + 2}{5 - 3}$

$B = \dfrac{7}{2}$

Vậy với $x = 25$ thì $B = \dfrac{7}{2}$.

2) Với $x \geq 0,x \neq 4,x \neq 9$, ta có

$P = \dfrac{2\sqrt{x} - 9}{x - 5\sqrt{x} + 6} - \dfrac{\sqrt{x} + 3}{\sqrt{x} - 2} + \dfrac{2\sqrt{x} + 1}{\sqrt{x} - 3}$

$P = \dfrac{2\sqrt{x} - 9}{(\sqrt{x} - 2)(\sqrt{x} - 3)} - \dfrac{\sqrt{x} + 3}{\sqrt{x} - 2} + \dfrac{2\sqrt{x} + 1}{\sqrt{x} - 3}$

$P = \dfrac{2\sqrt{x} - 9 - (\sqrt{x} + 3)(\sqrt{x} - 3) + (2\sqrt{x} + 1)(\sqrt{x} - 2)}{(\sqrt{x} - 2)(\sqrt{x} - 3)}$

$P = \dfrac{2\sqrt{x} - 9 - (x - 9) + (2x - 4\sqrt{x} + \sqrt{x} - 2)}{(\sqrt{x} - 2)(\sqrt{x} - 3)}$

$P = \dfrac{2\sqrt{x} - 9 - x + 9 + 2x - 3\sqrt{x} - 2}{(\sqrt{x} - 2)(\sqrt{x} - 3)}$

$P = \dfrac{x - \sqrt{x} - 2}{(\sqrt{x} - 2)(\sqrt{x} - 3)}$

$P = \dfrac{(\sqrt{x} + 1)(\sqrt{x} - 2)}{(\sqrt{x} - 2)(\sqrt{x} - 3)}$

$P = \dfrac{\sqrt{x} + 1}{\sqrt{x} - 3}$

Vậy $P = \dfrac{\sqrt{x} + 1}{\sqrt{x} - 3}$ với $x \geq 0,x \neq 4,x \neq 9$.

3) Ta có $M = B - P = \dfrac{\sqrt{x} + 2}{\sqrt{x} - 3} - \dfrac{\sqrt{x} + 1}{\sqrt{x} - 3} = \dfrac{1}{\sqrt{x} - 3}$.

Để biểu thức $M$ đạt giá trị lớn nhất thì mẫu số $\sqrt{x} - 3$ phải là một số dương nhỏ nhất (do tử số là $1 > 0$ và không đổi).

Suy ra $\sqrt{x} - 3 > 0$

$\sqrt{x} > 3$

$x > 9$

Theo đề bài, $x$ là số nguyên tố. Các số nguyên tố lớn hơn $9$ bao gồm: $\left\{ 11;13;17;19;\ldots \right\}$.

Để $\sqrt{x} - 3$ là số dương nhỏ nhất thì $\sqrt{x}$ phải nhỏ nhất, đồng nghĩa với việc ta cần chọn số nguyên tố $x$ nhỏ nhất lớn hơn $9$.

Suy ra $x = 11$ (TMĐK)

Vậy số nguyên tố cần tìm là $x = 11$.

Tham Gia Group Dành Cho Học Sinh Lớp 9 - Ôn Thi Vào Lớp 10

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> Học trực tuyến lớp 9 và Lộ trình UP10 trên Tuyensinh247.com . Học online tại nhà cũng giáo viên giỏi từ trường TOP đầu cả nước. Lộ trình học tập 3 giai đoạn: Học nền tảng lớp 9, Ôn thi vào lớp 10, Luyện Đề. Bứt phá điểm lớp 9, thi vào lớp 10 kết quả cao. Hoàn trả học phí nếu học không hiệu quả. Phụ huynh và học sinh tham khảo chi tiết khoá học tại: Link