Giải hệ phương trình: $\left\{ \begin{array}{l} {5x^{2}y - 4xy^{2} + 3y^{3} = 2(x + y)} \\ {xy(x^{2} +

Câu hỏi số 962708:

Vận dụng

Giải hệ phương trình: $\left\{ \begin{array}{l} {5x^{2}y - 4xy^{2} + 3y^{3} = 2(x + y)} \\ {xy(x^{2} + y^{2} - 2) - x^{2} - y^{2} + 2 = 0} \end{array} \right.$

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:962708

Phương pháp giải

Phân tích phương trình thứ hai thành nhân tử để tìm mối liên hệ giữa x và y, sau đó thế vào phương trình thứ nhất.

Giải chi tiết

Ta có: $\begin{cases} {5x^{2}y - 4xy^{2} + 3y^{3} = 2(x + y)} & {(1)} \\ {xy(x^{2} + y^{2} - 2) - x^{2} - y^{2} + 2 = 0} & {(2)} \end{cases}$

Từ (2) ta có: $(xy - 1)(x^{2} + y^{2} - 2) = 0$.

Trường hợp 1: $xy = 1$. Ta thấy$y$ khác 0, khi đó (1) trở thành

$\left. 5x - 4y + 3y^{3} = 2(x + y)\Leftrightarrow 3y^{3} - 6y + 3x = 0 \right.$

$\left. \Leftrightarrow 3y^{3} - 6y + \dfrac{3}{y} = 0\Leftrightarrow\dfrac{3{(y^{2} - 1)}^{2}}{y} = 0. \right.$

Suy ra $y^{2} = 1$. Do đó $\left\lbrack \begin{array}{l} {x = y = 1} \\ {x = y = - 1} \end{array} \right.$.

Trường hợp 2: $x^{2} + y^{2} = 2$. Từ (1) ta có:

$\begin{array}{l} {(x^{2} + y^{2})(x + y) = 5x^{2}y - 4xy^{2} + 3y^{3}} \\ \left. \Leftrightarrow x^{3} + y^{3} + xy^{2} + x^{2}y = 5x^{2}y - 4xy^{2} + 3y^{3} \right. \end{array}$

$\left. \Leftrightarrow x^{3} - 2y^{3} + 5xy^{2} - 4x^{2}y = 0\Leftrightarrow(x - 2y){(x - y)}^{2} = 0. \right.$

- Nếu $x = y$ thì $x^{2} = 1$. Suy ra $\left\lbrack \begin{array}{l} {x = y = 1} \\ {x = y = - 1} \end{array} \right.$

- Nếu $x = 2y$ thì $\left. 2 = 5y^{2}\Leftrightarrow y = \pm \dfrac{\sqrt{10}}{5} \right.$.

Suy ra $\left\lbrack \begin{array}{l} {x = \dfrac{2\sqrt{10}}{5},y = \dfrac{\sqrt{10}}{5}} \\ {x = - \dfrac{2\sqrt{10}}{5},y = - \dfrac{\sqrt{10}}{5}} \end{array} \right.$

Vậy hệ có các nghiệm: $(1,1),( - 1, - 1),(\dfrac{2\sqrt{10}}{5},\dfrac{\sqrt{10}}{5}),( - \dfrac{2\sqrt{10}}{5}, - \dfrac{\sqrt{10}}{5})$.

PH/HS 2K10 THAM GIA NHÓM ĐỂ CẬP NHẬT ĐIỂM THI, ĐIỂM CHUẨN MIỄN PHÍ!

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> Học trực tuyến lớp 9 và Lộ trình UP10 trên Tuyensinh247.com Đầy đủ khoá học các bộ sách: Kết nối tri thức với cuộc sống; Chân trời sáng tạo; Cánh diều. Lộ trình học tập 3 giai đoạn: Học nền tảng lớp 9, Ôn thi vào lớp 10, Luyện Đề. Bứt phá điểm lớp 9, thi vào lớp 10 kết quả cao. Hoàn trả học phí nếu học không hiệu quả. PH/HS tham khảo chi tiết khoá học tại: Link