1) Cho hai số thực khác nhau a, b và $ab + 1 \neq 0$ thỏa mãn $\dfrac{1}{a^{2} + 1} + \dfrac{1}{b^{2} + 1} =

Câu hỏi số 962707:

Vận dụng

1) Cho hai số thực khác nhau a, b và $ab + 1 \neq 0$ thỏa mãn $\dfrac{1}{a^{2} + 1} + \dfrac{1}{b^{2} + 1} = \dfrac{2}{1 + ab}$.

Tính giá trị của biểu thức $M = \dfrac{1}{a^{2025} + 1} + \dfrac{1}{b^{2025} + 1}$.

2) Cho $f(x)$ là đa thức bậc 4 có các hệ số nguyên. Biết rằng có bốn giá trị nguyên phân biệt của $x$ để $f(x)$ nhận cùng một giá trị bằng 2025. Chứng minh rằng không tồn tại số nguyên $x$ nào để $f(x)$ có giá trị bằng 2028.

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:962707

Phương pháp giải

1. Sử dụng phương pháp biến đổi đại số, quy đồng và phân tích đa thức thành nhân tử để tìm mối liên hệ giữa a và b.

2. Sử dụng tính chất của đa thức có nghiệm nguyên và phân tích một số nguyên thành tích các số nguyên phân biệt.

Giải chi tiết

1) Từ giả thiết: $\dfrac{1}{a^{2} + 1} + \dfrac{1}{b^{2} + 1} = \dfrac{2}{1 + ab}$

$\left. \Leftrightarrow\dfrac{a^{2} + b^{2} + 2}{(a^{2} + 1)(b^{2} + 1)} = \dfrac{2}{1 + ab} \right.$

$\left. \Leftrightarrow(a^{2} + b^{2} + 2)(1 + ab) = 2(a^{2}b^{2} + a^{2} + b^{2} + 1) \right.$

$\left. \Leftrightarrow a^{2} + a^{3}b + b^{2} + ab^{3} + 2 + 2ab = 2a^{2}b^{2} + 2a^{2} + 2b^{2} + 2 \right.$

$\left. \Leftrightarrow a^{3}b + ab^{3} - 2a^{2}b^{2} - a^{2} - b^{2} + 2ab = 0 \right.$

$\left. \Leftrightarrow ab(a^{2} - 2ab + b^{2}) - (a^{2} - 2ab + b^{2}) = 0 \right.$

$\left. \Leftrightarrow(ab - 1){(a - b)}^{2} = 0 \right.$

Do $a \neq b$ nên ${(a - b)}^{2} \neq 0$, suy ra $\left. ab - 1 = 0\Leftrightarrow ab = 1 \right.$.

Khi đó $b = \dfrac{1}{a}$. Thay vào biểu thức $M$:

$M = \dfrac{1}{a^{2025} + 1} + \dfrac{1}{{(\dfrac{1}{a})}^{2025} + 1} = \dfrac{1}{a^{2025} + 1} + \dfrac{a^{2025}}{1 + a^{2025}} = 1$.

2) Giả sử tồn tại bốn số nguyên a, b, c, d phân biệt sao cho$f(a) = f(b) = f(c) = f(d) = 2025.$

Do đó đa thức $Q(x) = f(x) - 2025$ nhận a, b, c, d là nghiệm.

Khi đó $f(x) - 2025 = (x - a)(x - b)(x - c)(x - d).$

Giả sử tồn tại số nguyên $t$ sao cho $P(t) = 2028$ thì $3 = f(t) - 2025 = (t - a)(t - b)(t - c)(t - d)$

Mà 3 có tất cả 4 ước nguyên khi đó do $t - a,t - b,t - c,t - d$ phân biệt nên tồn tại hai trong bốn số đó chia hết cho 3.

Khi đó $9 \mid (t - a)(t - b)(t - c)(t - d).$

Suy ra điều vô lý. Như vậy không tồn tại giá trị nguyên $x$ sao cho $f(x)$ bằng 2028.

PH/HS 2K10 THAM GIA NHÓM ĐỂ CẬP NHẬT ĐIỂM THI, ĐIỂM CHUẨN MIỄN PHÍ!

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> Học trực tuyến lớp 9 và Lộ trình UP10 trên Tuyensinh247.com Đầy đủ khoá học các bộ sách: Kết nối tri thức với cuộc sống; Chân trời sáng tạo; Cánh diều. Lộ trình học tập 3 giai đoạn: Học nền tảng lớp 9, Ôn thi vào lớp 10, Luyện Đề. Bứt phá điểm lớp 9, thi vào lớp 10 kết quả cao. Hoàn trả học phí nếu học không hiệu quả. PH/HS tham khảo chi tiết khoá học tại: Link