a) Tìm tất cả các cặp số nguyên (x; y) thoả mãn điều kiện $x^{2} - xy - x + 2y + 1 = 0$.b) Cho a, b,

Câu hỏi số 962888:

Vận dụng

a) Tìm tất cả các cặp số nguyên (x; y) thoả mãn điều kiện $x^{2} - xy - x + 2y + 1 = 0$.

b) Cho a, b, c là các số thực dương thoả mãn $a + b + c = 1$. Chứng minh rằng

$\sqrt[3]{a + 2b} + \sqrt[3]{b + 2c} + \sqrt[3]{c + 2a} \leq 3$.

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:962888

Phương pháp giải

a) Biến đổi phương trình thành dạng tích hoặc rút y theo x, sử dụng tính chất chia hết của số nguyên để tìm các nghiệm.

b) Áp dụng bất đẳng thức Cauchy (AM-GM) cho ba số dương bằng cách ghép thêm hai số 1.

Giải chi tiết

a) Ta có $x^{2} - xy - x + 2y + 1 = 0$.

Tương đương $(x - 2)y = x^{2} - x + 1(1)$.

Khi $x = 2$ phương trình (1) trở thành $0.y = 3$ (vô nghiệm).

Khi $x \neq 2$ phương trình (1) tương đương với $y = \dfrac{x^{2} - x + 1}{x - 2}$ hay $y = x + 1 + \dfrac{3}{x - 2}$.

Mà x, y là các số nguyên nên $x - 2$ là ước của 3. Khi đó:$x - 2 = 1$ hay $x = 3$. Suy ra $y = 7$.$x - 2 = - 1$ hay $x = 1$. Suy ra $y = - 1$.$x - 2 = 3$ hay $x = 5$. Suy ra $y = 7$.$x - 2 = - 3$ hay $x = - 1$. Suy ra $y = - 1$.

Vậy phương trình đã cho có nghiệm nguyên là (3; 7), (1; -1), (5; 7), (-1; -1).

b) Áp dụng bất đẳng thức Cauchy, ta có:

$\sqrt[3]{(a + 2b).1.1} \leq \dfrac{a + 2b + 2}{3}$.

$\sqrt[3]{(b + 2c).1.1} \leq \dfrac{b + 2c + 2}{3}$.

$\sqrt[3]{(c + 2a).1.1} \leq \dfrac{c + 2a + 2}{3}$.

Khi đó cộng vế theo vế ta được: $\sqrt[3]{a + 2b} + \sqrt[3]{b + 2c} + \sqrt[3]{c + 2a} \leq \dfrac{3a + 3b + 3c + 6}{3}$.

Do $a + b + c = 1$, thay vào ta được $\dfrac{3(1) + 6}{3} = 3$. (Điều phải chứng minh).

Tham Gia Group Dành Cho Học Sinh Lớp 9 - Ôn Thi Vào Lớp 10

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> Học trực tuyến lớp 9 và Lộ trình UP10 trên Tuyensinh247.com . Học online tại nhà cũng giáo viên giỏi từ trường TOP đầu cả nước. Lộ trình học tập 3 giai đoạn: Học nền tảng lớp 9, Ôn thi vào lớp 10, Luyện Đề. Bứt phá điểm lớp 9, thi vào lớp 10 kết quả cao. Hoàn trả học phí nếu học không hiệu quả. Phụ huynh và học sinh tham khảo chi tiết khoá học tại: Link