Từ một điểm S bên ngoài đường tròn (O) kẻ tiếp tuyến SA của đường tròn (A là tiếp
Từ một điểm S bên ngoài đường tròn (O) kẻ tiếp tuyến SA của đường tròn (A là tiếp điểm). Vẽ đường thẳng đi qua S cắt đường tròn (O) tại hai điểm B, C sao cho điểm O nằm trong góc ASC và B nằm giữa S, C. Gọi M là trung điểm của BC.
a) Chứng minh bốn điểm S, A, O, M cùng nằm trên một đường tròn.
b) Tia phân giác trong của góc BAC cắt BC tại D. Chứng minh $SA=SD$.
c) Tia AD cắt đường tròn (O) tại P khác A. Gọi I là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác ADM. Chứng minh OI song song AP.
Quảng cáo
a) Dùng tính chất tiếp tuyến và đường kính đi qua trung điểm dây cung để chứng minh các tam giác vuông nội tiếp chung một đường tròn.
b) Kẻ thêm đường kính, dùng góc nội tiếp và góc ngoài tam giác để suy ra tam giác SAD cân tại S.
c) Kẻ thêm đường kính đi qua P, chứng minh tứ giác nội tiếp để tìm tâm I, rồi dùng tính chất đường trung bình của tam giác.
a) Ta có $\widehat{SAO} = 90^{{^\circ}}$ (SA là tiếp tuyến của (O)).
Suy ra tam giác SAO nội tiếp đường tròn đường kính SO.
Ta lại có $OB = OC$ (bán kính).
Suy ra tam giác OBC cân tại O nên OM là đường trung tuyến cũng là đường cao của tam giác OBC. Khi đó $\widehat{SMO} = 90^{{^\circ}}$.
Suy ra tam giác SMO nội tiếp đường tròn đường kính SO.
Suy ra bốn điểm S, A, O, M cùng nằm trên đường tròn đường kính SO.
b) Kẻ đường kính AN của (O).
Ta có $\widehat{BAN} = \widehat{BCN}$ (cùng chắn cung BN).
Mà $\widehat{SAB} + \widehat{BAN} = 90^{{^\circ}}$ và $\widehat{SCA} + \widehat{BCN} = 90^{{^\circ}}$.
Nên $\widehat{SAB} = \widehat{SCA}$.
Xét góc ngoài tam giác, ta có $\widehat{SDA} = \widehat{DAC} + \widehat{ACD}$ và $\widehat{SAD} = \widehat{DAB} + \widehat{SAB}$.
Do AD là phân giác nên $\widehat{DAC} = \widehat{DAB}$, kết hợp với trên suy ra $\widehat{SDA} = \widehat{SAD}$.
Do đó tam giác SAD cân tại S. Suy ra $SA = SD$.
c) Kẻ đường kính PQ của (O).
Vì AD là tia phân giác của $\widehat{BAC}$ nên P là điểm chính giữa của cung BC.
Suy ra $OP\bot BC$ tại trung điểm M.
Do đó O, M, P thẳng hàng. Mà PQ là đường kính của (O) nên Q, O, M, P thẳng hàng.
Suy ra $QM\bot BC$ tại M, hay $\widehat{QMD} = 90^{{^\circ}}$.
Khi đó $\widehat{QAD} = \widehat{QMD} = 90^{{^\circ}}$ nên tứ giác AQMD nội tiếp đường tròn đường kính QD.
Suy ra I là trung điểm QD.
Lại có O là trung điểm PQ, từ đó ta được OI là đường trung bình của tam giác QDP.
Do đó OI song song AP.
PH/HS 2K10 THAM GIA NHÓM ĐỂ CẬP NHẬT ĐIỂM THI, ĐIỂM CHUẨN MIỄN PHÍ!
>> Học trực tuyến lớp 9 và Lộ trình UP10 trên Tuyensinh247.com Đầy đủ khoá học các bộ sách: Kết nối tri thức với cuộc sống; Chân trời sáng tạo; Cánh diều. Lộ trình học tập 3 giai đoạn: Học nền tảng lớp 9, Ôn thi vào lớp 10, Luyện Đề. Bứt phá điểm lớp 9, thi vào lớp 10 kết quả cao. Hoàn trả học phí nếu học không hiệu quả. PH/HS tham khảo chi tiết khoá học tại: Link
 |
 |
 |
 |
 |
 |
Hỗ trợ - Hướng dẫn
-
024.7300.7989
-
1800.6947
(Thời gian hỗ trợ từ 7h đến 22h)
Email: lienhe@tuyensinh247.com
