Cho biểu thức $M = (\dfrac{1}{x - 4} + \dfrac{3\sqrt{x} + 10}{x\sqrt{x} - 2x - 4\sqrt{x} + 8}).(\dfrac{x +

Câu hỏi số 962987:

Vận dụng

Cho biểu thức $M = (\dfrac{1}{x - 4} + \dfrac{3\sqrt{x} + 10}{x\sqrt{x} - 2x - 4\sqrt{x} + 8}).(\dfrac{x + 4\sqrt{x} + 4}{4\sqrt{x}} - 2)$.

1) Tìm điều kiện xác định và rút gọn biểu thức M.

2) Đặt $N = M.(9x - 2\sqrt{x} + 4)$. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức N.

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:962987

Phương pháp giải

1) Quy đồng mẫu số, phân tích các mẫu thành nhân tử để rút gọn biểu thức.

2) Đánh giá biểu thức bằng hằng đẳng thức hoặc bất đẳng thức AM-GM (Cô-si) để tìm giá trị nhỏ nhất.

Giải chi tiết

1) Điều kiện xác định: $\left. \left\{ \begin{array}{l} {x - 4 \neq 0} \\ {x\sqrt{x} - 2x - 4\sqrt{x} + 8 \neq 0} \\ {\sqrt{x} \neq 0,x \geq 0} \end{array} \right.\Leftrightarrow\left\{ \begin{array}{l} {x \neq 4} \\ \left. (x - 4)(\sqrt{x} - 2) \neq 0\Leftrightarrow x > 0,x \neq 4. \right. \\ {x > 0} \end{array} \right. \right.$

Ta có:

$M = \left( {\dfrac{1}{x - 4} + \dfrac{3\sqrt{x} + 10}{x\sqrt{x} - 2x - 4\sqrt{x} + 8}} \right)\left( {\dfrac{x + 4\sqrt{x} + 4}{4\sqrt{x}} - 2} \right)$

$= \left( {\dfrac{\sqrt{x} - 2}{(x - 4)(\sqrt{x} - 2)} + \dfrac{3\sqrt{x} + 10}{(x - 4)(\sqrt{x} - 2)}} \right)\left( \dfrac{x - 4\sqrt{x} + 4}{4\sqrt{x}} \right)$

$= \dfrac{4\sqrt{x} + 8}{{(\sqrt{x} - 2)}^{2}(\sqrt{x} + 2)} \cdot \dfrac{{(\sqrt{x} - 2)}^{2}}{4\sqrt{x}} = \dfrac{1}{\sqrt{x}}.$

Vậy $M = \dfrac{1}{\sqrt{x}},x \neq 4,x > 0.$

2) Ta có:

$N = M.(9x - 2\sqrt{x} + 4) = \dfrac{9x - 2\sqrt{x} + 4}{\sqrt{x}} = 9\sqrt{x} + \dfrac{4}{\sqrt{x}} - 2$.

$N \geq {(3\sqrt[4]{x} - \dfrac{2}{\sqrt[4]{x}})}^{2} + 10 \geq 10$.

Như vậy giá trị nhỏ nhất của $N = 10$.

Dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi$\left. 3\sqrt[4]{x} = \dfrac{2}{\sqrt[4]{x}}\Leftrightarrow\sqrt{x} = \dfrac{2}{3}\Leftrightarrow x = \dfrac{4}{9} \right.$.

Vậy $\min N = 10$ khi $x = \dfrac{4}{9}$.

Tham Gia Group Dành Cho Học Sinh Lớp 9 - Ôn Thi Vào Lớp 10

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> Học trực tuyến lớp 9 và Lộ trình UP10 trên Tuyensinh247.com . Học online tại nhà cũng giáo viên giỏi từ trường TOP đầu cả nước. Lộ trình học tập 3 giai đoạn: Học nền tảng lớp 9, Ôn thi vào lớp 10, Luyện Đề. Bứt phá điểm lớp 9, thi vào lớp 10 kết quả cao. Hoàn trả học phí nếu học không hiệu quả. Phụ huynh và học sinh tham khảo chi tiết khoá học tại: Link