1) Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho đường thẳng (d): $y = x + m$ và parabol (P): $y = 2x^{2}$. Tìm

Câu hỏi số 962988:

Vận dụng

1) Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho đường thẳng (d): $y = x + m$ và parabol (P): $y = 2x^{2}$. Tìm tất cả giá trị của tham số m sao cho đường thẳng (d) cắt parabol (P) tại hai điểm phân biệt có hoành độ $x_{1},x_{2}$ thỏa mãn ${(2x_{1}^{2} - x_{2} - m)}^{2} + {(2x_{2}^{2} - x_{1} - m)}^{2} = 4$.

2) Giải hệ phương trình $\left\{ \begin{array}{l} {x^{3} + x^{2} - xy^{2} = 2\sqrt{{(x - y^{2})}^{3}}} \\ {56x^{2} + 20(x^{2} - y^{2}) = \sqrt[3]{4x(8x + 1)} - 2} \end{array} \right.$.

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:962988

Phương pháp giải

1) Lập phương trình hoành độ giao điểm, tìm điều kiện có 2 nghiệm phân biệt và áp dụng định lý Vi-ét.

2) Đặt ẩn phụ để giải phương trình đầu tiên tìm mối liên hệ giữa x và y, sau đó thế vào phương trình thứ hai và sử dụng phương pháp đánh giá bất đẳng thức.

Giải chi tiết

1) Phương trình hoành độ giao điểm: $\left. 2x^{2} = x + m\Leftrightarrow 2x^{2} - x - m = 0 \right.$. Để cắt tại 2 điểm phân biệt thì $\Delta = 1 + 8m > 0$ $\left. \Rightarrow m > - \dfrac{1}{8} \right.$.

Từ phương trình, ta có $\left. 2x_{1}^{2} - x_{1} - m = 0\Leftrightarrow 2x_{1}^{2} - x_{2} - m = x_{1} - x_{2} \right.$. Tương tự $2x_{2}^{2} - x_{1} - m = x_{2} - x_{1}$.

Theo định lý Vi-ét: $x_{1} + x_{2} = \dfrac{1}{2},x_{1}x_{2} = - \dfrac{m}{2}$.

Yêu cầu bài toán $\left. \Leftrightarrow{(x_{1} - x_{2})}^{2} + {(x_{2} - x_{1})}^{2} = 4\Leftrightarrow 2{(x_{1} - x_{2})}^{2} = 4\Leftrightarrow{(x_{1} + x_{2})}^{2} - 4x_{1}x_{2} = 2 \right.$.

Thế Vi-ét vào: $\left. \dfrac{1}{4} + 2m = 2\Leftrightarrow m = \dfrac{7}{8} \right.$ (thỏa mãn).

2) Điều kiện: $x - y^{2} > 0$.

Đặt $a = \sqrt{x - y^{2}} > 0$.

Từ (1) khi đó $x^{3} + x(x - y^{2}) - 2\sqrt{{(x - y^{2})}^{3}} = 0$

$\begin{array}{l} \left. \Leftrightarrow x^{3} + xa^{2} - 2a^{3} = 0 \right. \\ \left. \Leftrightarrow x^{3} - a^{3} + xa^{2} - a^{3} = 0 \right. \\ \left. \Leftrightarrow(x - a)(x^{2} + ax + a^{2}) + a^{2}(x - a) = 0 \right. \\ \left. \Leftrightarrow(x - a)(x^{2} + ax + 2a^{2}) = 0 \right. \end{array}$.

Mà $x^{2} + 2ax + 2a^{2} = {(x + a)}^{2} + a^{2} > 0$. Suy ra $\left. x = a\Leftrightarrow x = \sqrt{x - y^{2}},x > 0.(*) \right.$

Ta bình phương hai vế (*) lên ta có: $y^{2} = x - x^{2}$. Thay vào (2) thì

$\left. 56x^{2} + 20(x^{2} - x + x^{2}) = \sqrt[3]{4x(8x + 1)} - 2\Leftrightarrow 96x^{2} - 20x + 2 = \sqrt[3]{4x(8x + 1)}. \right.$

Ta có: $6\sqrt[3]{4x(8x + 1)} \leq 3\sqrt[3]{2.16x.(8x + 1)} \leq 24x + 3.$

Và $6.(96x^{2} - 20x + 2) = (576x^{2} - 144x + 9) + 24x + 3 = {(24x - 3)}^{2} + 24x + 3 \geq 24x + 3.$

Như vậy $96x^{2} - 20x + 2 \geq \sqrt[3]{4x(8x + 1)}$, đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi

$\left. 2 = 16x = 8x + 1\Leftrightarrow x = \dfrac{1}{8}.(tm) \right.$

Suy ra $\left. y^{2} = x - x^{2} = \dfrac{7}{64}\Rightarrow y = \pm \dfrac{\sqrt{7}}{8} \right.$. Thử lại các cặp $\left( {\dfrac{1}{8},\dfrac{\sqrt{7}}{8}} \right),\left( {\dfrac{1}{8}, - \dfrac{\sqrt{7}}{8}} \right)$ đều thoả mãn.

Vậy hệ phương trình có các nghiệm là $(\dfrac{1}{8},\dfrac{\sqrt{7}}{8})$ và $(\dfrac{1}{8}, - \dfrac{\sqrt{7}}{8})$.

PH/HS 2K10 THAM GIA NHÓM ĐỂ CẬP NHẬT ĐIỂM THI, ĐIỂM CHUẨN MIỄN PHÍ!

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> Học trực tuyến lớp 9 và Lộ trình UP10 trên Tuyensinh247.com Đầy đủ khoá học các bộ sách: Kết nối tri thức với cuộc sống; Chân trời sáng tạo; Cánh diều. Lộ trình học tập 3 giai đoạn: Học nền tảng lớp 9, Ôn thi vào lớp 10, Luyện Đề. Bứt phá điểm lớp 9, thi vào lớp 10 kết quả cao. Hoàn trả học phí nếu học không hiệu quả. PH/HS tham khảo chi tiết khoá học tại: Link