1) Tìm tất cả nghiệm nguyên (x; y) của phương trình $(x^{2} + 3)y^{2} - (x - 2y)(x + 2y + 1) = 25x + 2y +

Câu hỏi số 962989:

Vận dụng

1) Tìm tất cả nghiệm nguyên (x; y) của phương trình

$(x^{2} + 3)y^{2} - (x - 2y)(x + 2y + 1) = 25x + 2y + 169$.

2) Một thùng có 40 quả bóng có kích thước và khối lượng như nhau, trong đó có một số quả bóng màu đỏ, một số quả bóng màu xanh, còn lại là những quả bóng màu khác. Lấy ngẫu nhiên một quả bóng trong thùng. Xác suất để lấy được quả bóng màu đỏ là $\dfrac{3}{10}$, xác suất để lấy được quả bóng màu xanh là $\dfrac{3}{8}$. Tìm số quả bóng có màu khác màu đỏ và màu xanh.

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:962989

Phương pháp giải

1) Biến đổi phương trình về dạng tích của các biểu thức bậc hai, sử dụng tính chất số chính phương để kẹp nghiệm.

2) Tính số lượng bóng từng loại dựa vào xác suất cổ điển rồi trừ đi tổng số để tìm số bóng còn lại.

Giải chi tiết

1) Giả sử phương trình $(x^{2} + 3)y^{2} - (x - 2y)(x + 2y + 1) = 25x + 2y + 169(*)$ có nghiệm nguyên. Ta có phương trình (*) tương đương

$\left. x^{2}y^{2} + 7y^{2} - x^{2} - x + 2y = 25x + 2y + 169\Leftrightarrow(x^{2} + 7)y^{2} = x^{2} + 26x + 169 = {(x + 13)}^{2} \right.$.

Như vậy $x^{2} + 7$ là số chính phương. Đặt $x^{2} + 7 = z^{2},z$ là số nguyên dương.

Khi đó $7 = (z - x)(z + x)$. Do $z - x + z + x = 2z > 0$. Ta xét hai trường hợp:

Trường hợp 1: $\left. \left\{ \begin{array}{l} {z - x = 1} \\ {z + x = 7} \end{array} \right.\Leftrightarrow\left\{ \begin{array}{l} {x = 3} \\ {z = 4} \end{array} \right. \right.$. Suy ra $\left. y^{2} = 16\Leftrightarrow y = \pm 4 \right.$.

Trường hợp 2: $\left. \left\{ \begin{array}{l} {z - x = 7} \\ {z + x = 1} \end{array} \right.\Leftrightarrow\left\{ \begin{array}{l} {x = - 3} \\ {z = 4} \end{array} \right. \right.$. Suy ra $\left. y^{2} = \dfrac{25}{4}\Leftrightarrow y = \pm \dfrac{5}{2} \right.$. (loại)

Như vậy phương trình (*) có các nghiệm $(x,y)$ thoả mãn là $(3,4),(3, - 4)$.

2) Gọi số quả bóng có màu đỏ, màu xanh trong thùng lần lượt là: x, y.

Số cách lấy ngẫu nhiên một quả bóng từ trong thùng là 40 (cách).

Số cách để lấy được một quả bóng màu đỏ là: $x$ (cách).

Vì xác suất để lấy được quả bóng màu đỏ là $\dfrac{3}{10}$. Như vậy $\left. \dfrac{x}{40} = \dfrac{3}{10}\Leftrightarrow x = 12 \right.$.

Số cách để lấy được một quả bóng màu xanh là: $y$ (cách).

Vì xác suất để lấy được quả bóng màu xanh là $\dfrac{3}{8}$. Như vậy $\left. \dfrac{y}{40} = \dfrac{3}{8}\Leftrightarrow x = 15 \right.$.

Do đó số quả bóng có màu khác trong thùng là $40 - 12 - 15 = 13$.

Vậy số quả bóng có màu khác xanh và đỏ là 13 (quả).

PH/HS 2K10 THAM GIA NHÓM ĐỂ CẬP NHẬT ĐIỂM THI, ĐIỂM CHUẨN MIỄN PHÍ!

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> Học trực tuyến lớp 9 và Lộ trình UP10 trên Tuyensinh247.com Đầy đủ khoá học các bộ sách: Kết nối tri thức với cuộc sống; Chân trời sáng tạo; Cánh diều. Lộ trình học tập 3 giai đoạn: Học nền tảng lớp 9, Ôn thi vào lớp 10, Luyện Đề. Bứt phá điểm lớp 9, thi vào lớp 10 kết quả cao. Hoàn trả học phí nếu học không hiệu quả. PH/HS tham khảo chi tiết khoá học tại: Link