1. Một ô tô và một xe máy khởi hành cùng một lúc để đi từ A đến B với vận tốc mỗi xe

Câu hỏi số 963229:

Vận dụng

1. Một ô tô và một xe máy khởi hành cùng một lúc để đi từ A đến B với vận tốc mỗi xe không đổi trên toàn bộ quãng đường AB. Biết quãng đường AB dài 240 km. Do vận tốc xe ô tô lớn hơn vận tốc xe máy là 20 km/h nên ô tô đến B sớm hơn xe máy 2 giờ. Tính vận tốc mỗi xe.

2. Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho Parabol $(P):y = x^{2}$ và đường thẳng $(d):y = - 2x + m$ (với $m$ là tham số). Tìm giá trị của tham số $m$ để $(d)$ cắt $(P)$ tại hai điểm phân biệt $A(x_{1};y_{1})$ và $B(x_{2};y_{2})$ thoả mãn: $y_{1} + y_{2} + 3x_{1}x_{2} = 1$.

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:963229

Phương pháp giải

1. Gọi vận tốc của xe máy là $x$ (km/h, $x > 0$). Biểu diễn thời gian đi của mỗi xe theo $x$ và lập phương trình dựa vào sự chênh lệch thời gian.

2. Xét phương trình hoành độ giao điểm. Áp dụng hệ thức Vi-et để xử lý điều kiện $y_{1} + y_{2} + 3x_{1}x_{2} = 1$.

Giải chi tiết

1. Gọi vận tốc xe máy là $x\mspace{6mu}(km/h)$ (ĐK: $x > 0$).

Vì vận tốc ô tô lớn hơn vận tốc xe máy là 20 km/h nên vận tốc ô tô là $x + 20$ (km/h).

Thời gian xe máy đi hết quãng đường AB là $\dfrac{240}{x}$ (h).

Thời gian ô tô đi hết quãng đường AB là $\dfrac{240}{x + 20}$ (h).

Do ô tô đến B sớm hơn xe máy 2 giờ nên ta có phương trình:

$\dfrac{240}{x} - \dfrac{240}{x + 20} = 2$

$\left. \Leftrightarrow\dfrac{120}{x} - \dfrac{120}{x + 20} = 1 \right.$

$\left. \Leftrightarrow 120(x + 20) - 120x = x(x + 20) \right.$

$\left. \Leftrightarrow 2400 = x^{2} + 20x \right.$

$\left. \Leftrightarrow x^{2} + 20x - 2400 = 0 \right.$

Ta có $\Delta' = 10^{2} - ( - 2400) = 2500 > 0$ nên phương trình có 2 nghiệm phân biệt:

$x_{1} = - 10 + \sqrt{2500} = 40$ (thỏa mãn)

$x_{2} = - 10 - \sqrt{2500} = - 60$ (không thỏa mãn)

Vậy vận tốc xe máy là 40 km/h và vận tốc ô tô là $40 + 20 = 60$ km/h.

2. Xét phương trình hoành độ giao điểm của (d) và (P)

Xét phương trình hoành độ giao điểm của $(d)$ và $(P)$:

$\left. x^{2} = - 2x + m\Leftrightarrow x^{2} + 2x - m = 0 \right.$ (1)

Để $(d)$ cắt $(P)$ tại 2 điểm phân biệt thì phương trình (1) phải có 2 nghiệm phân biệt.

$\left. \Rightarrow\Delta' = 1^{2} - 1.( - m) = m + 1 > 0\Leftrightarrow m > - 1 \right.$.

Với $m > - 1$ thì $(d)$ cắt $(P)$ tại 2 điểm phân biệt $A(x_{1};y_{1})$ và $B(x_{2};y_{2})$ với $x_{1},x_{2}$ là nghiệm của (1) và $y_{1} = x_{1}^{2};y_{2} = x_{2}^{2}$.

Khi đó áp dụng định lí Vi-et ta có: $\left\{ \begin{array}{l} {x_{1} + x_{2} = - 2} \\ {x_{1}x_{2} = - m} \end{array} \right.$

Theo giả thiết:

$y_{1} + y_{2} + 3x_{1}x_{2} = 1$

$\left. \Rightarrow x_{1}^{2} + x_{2}^{2} + 3x_{1}x_{2} = 1 \right.$

$\left. \Leftrightarrow{(x_{1} + x_{2})}^{2} - 2x_{1}x_{2} + 3x_{1}x_{2} = 1 \right.$

$\left. \Leftrightarrow{(x_{1} + x_{2})}^{2} + x_{1}x_{2} = 1 \right.$

Thay Vi-et vào ta được:

$\left. \Leftrightarrow{( - 2)}^{2} + ( - m) = 1 \right.$

$\left. \Leftrightarrow 4 - m = 1 \right.$

$\left. \Leftrightarrow m = 3 \right.$ (thỏa mãn điều kiện $m > - 1$).

Vậy $m = 3$.

PH/HS 2K10 THAM GIA NHÓM ĐỂ CẬP NHẬT ĐIỂM THI, ĐIỂM CHUẨN MIỄN PHÍ!

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> Học trực tuyến lớp 9 và Lộ trình UP10 trên Tuyensinh247.com Đầy đủ khoá học các bộ sách: Kết nối tri thức với cuộc sống; Chân trời sáng tạo; Cánh diều. Lộ trình học tập 3 giai đoạn: Học nền tảng lớp 9, Ôn thi vào lớp 10, Luyện Đề. Bứt phá điểm lớp 9, thi vào lớp 10 kết quả cao. Hoàn trả học phí nếu học không hiệu quả. PH/HS tham khảo chi tiết khoá học tại: Link