Cho đường tròn (O;R), đường kính AB. Kẻ Ax là tiếp tuyến của đường tròn tâm O. Trên tia Ax
Cho đường tròn (O;R), đường kính AB. Kẻ Ax là tiếp tuyến của đường tròn tâm O. Trên tia Ax lấy điểm C ($C \neq A$), CB cắt đường tròn tại điểm D. Gọi I là giao điểm của OC và AD. Kẻ AH vuông góc với OC tại điểm H, AH cắt BC tại điểm M.
a) Chứng minh tứ giác DMHI nội tiếp đường tròn.
b) Chứng minh $OH.OC = R^{2}$ và $\Delta OHB$ đồng dạng với $\Delta OBC$.
c) Chứng minh $\dfrac{MD}{MB} = \dfrac{HD}{HB}$.
Quảng cáo
a) Sử dụng tính chất góc nội tiếp chắn nửa đường tròn để suy ra các góc vuông, từ đó chứng minh tổng hai góc đối của tứ giác bằng $180^{{^\circ}}$.
b) Sử dụng hệ thức lượng trong tam giác vuông để chứng minh đẳng thức. Xét hai tam giác đồng dạng theo trường hợp cạnh-góc-cạnh.
c) Chứng minh HM là phân giác trong của góc $\angle DHB$. Sử dụng tính chất hai góc bù nhau và tam giác đồng dạng để suy ra điều cần chứng minh.
a)
Ta có: $\angle ADB = 90^{{^\circ}}$ (góc nội tiếp chắn nửa đường tròn) $\left. \Rightarrow\angle IDM = 90^{{^\circ}} \right.$.
$AH\bot OC$ tại H $\left. \Rightarrow\angle IHM = 90^{{^\circ}} \right.$.
Xét tứ giác DMHI có: $\angle IDM + \angle IHM = 90^{{^\circ}} + 90^{{^\circ}} = 180^{{^\circ}}$.
$\Rightarrow$ DMHI là tứ giác nội tiếp (tứ giác có tổng hai góc đối diện bằng $180^{{^\circ}}$).
b)
Ta có: $\angle OAC = 90^{{^\circ}}$ (do Ax là tiếp tuyến của (O)) $\left. \Rightarrow\Delta OAC \right.$ vuông tại A.
Áp dụng hệ thức lượng trong tam giác OAC vuông tại A, đường cao AH ta có:
$OH.OC = OA^{2} = R^{2}$ (đpcm)
Mặt khác $\left. OB = R\Rightarrow OH.OC = OB^{2}\Rightarrow\dfrac{OH}{OB} = \dfrac{OB}{OC} \right.$.
Xét $\Delta OHB$ và $\Delta OBC$ có:
$\angle BOC$ chung
$\dfrac{OH}{OB} = \dfrac{OB}{OC}$ (cmt)
$\left. \Rightarrow\Delta OHB \right.\sim\Delta OBC$ (c.g.c) (đpcm).
c)
Vì DMHI là tứ giác nội tiếp (theo câu a) nên $\angle M_{1} = \angle H_{1}$ (hai góc nội tiếp cùng chắn cung DI).
Xét tứ giác AHDC có: $\angle AHC = \angle ADC = 90^{{^\circ}}$, mà hai đỉnh H, D kề nhau cùng nhìn AC dưới các góc bằng nhau nên AHDC là tứ giác nội tiếp (dhnb).
$\left. \Rightarrow\angle H_{1} = \angle A_{1} \right.$ (hai góc nội tiếp cùng chắn cung CD).
Mặt khác: $\angle A_{1} = \angle ABD$ (góc nội tiếp và góc tạo bởi tiếp tuyến và dây cung cùng chắn cung AD)
$\left. \Rightarrow\angle M_{1} = \angle ABD \right.$.
Mà 2 góc này ở vị trí hai góc đồng vị bằng nhau nên $MI//AB$ (dhnb).
$\left. \Rightarrow\angle M_{2} = \angle HAB \right.$ (hai góc so le trong bằng nhau).
Mà $\angle M_{2} = \angle D_{2}$ (hai góc nội tiếp cùng chắn cung HI)
$\left. \Rightarrow\angle D_{2} = \angle HAB \right.$ (1)
Ta có: $\left. \Delta OHB \right.\sim\Delta OBC$ (cmt) $\left. \Rightarrow\angle B_{1} = \angle C_{1} \right.$ (hai góc tương ứng).
Mà $\angle C_{1} = \angle A_{2}$ (hai góc nội tiếp cùng chắn cung DH)
$\left. \Rightarrow\angle B_{1} = \angle A_{2} \right.$ (2)
Xét $\Delta AHB$ và $\Delta DHA$ có:
$\angle B_{1} = \angle A_{2}$ (theo (2)).
$\angle HAB = \angle D_{2}$ (theo (1))
$\left. \Rightarrow\Delta AHB \right.\sim\Delta DHA$ (g.g)
$\left. \Rightarrow\angle AHB = \angle AHD \right.$ (2 góc tương ứng)
$\left. \Rightarrow 180^{{^\circ}} - \angle AHB = 180^{{^\circ}} - \angle AHD \right.$
$\left. \Rightarrow\angle BHM = \angle DHM \right.$
$\left. \Rightarrow HM \right.$ là phân giác của góc BHD.
Áp dụng tính chất đường phân giác ta có: $\dfrac{MD}{MB} = \dfrac{HD}{HB}$ (đpcm).
PH/HS 2K10 THAM GIA NHÓM ĐỂ CẬP NHẬT ĐIỂM THI, ĐIỂM CHUẨN MIỄN PHÍ!
>> Học trực tuyến lớp 9 và Lộ trình UP10 trên Tuyensinh247.com Đầy đủ khoá học các bộ sách: Kết nối tri thức với cuộc sống; Chân trời sáng tạo; Cánh diều. Lộ trình học tập 3 giai đoạn: Học nền tảng lớp 9, Ôn thi vào lớp 10, Luyện Đề. Bứt phá điểm lớp 9, thi vào lớp 10 kết quả cao. Hoàn trả học phí nếu học không hiệu quả. PH/HS tham khảo chi tiết khoá học tại: Link
 |
 |
 |
 |
 |
 |
Hỗ trợ - Hướng dẫn
-
024.7300.7989
-
1800.6947
(Thời gian hỗ trợ từ 7h đến 22h)
Email: lienhe@tuyensinh247.com
