1. Chứng minh rằng với mọi số tự nhiên $a$ thì biểu thức:$A = \dfrac{a^{5}}{120} + \dfrac{a^{4}}{12}

Câu hỏi số 963231:

Vận dụng

1. Chứng minh rằng với mọi số tự nhiên $a$ thì biểu thức:

$A = \dfrac{a^{5}}{120} + \dfrac{a^{4}}{12} + \dfrac{7a^{3}}{24} + \dfrac{5a^{2}}{12} + \dfrac{a}{5}$ cũng là một số tự nhiên.

2. Cho $a,b,c > 0$ và $a + b + c = 3$. Chứng minh rằng: $\dfrac{a}{b^{3} + ab} + \dfrac{b}{c^{3} + bc} + \dfrac{c}{a^{3} + ca} \geq \dfrac{3}{2}$.

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:963231

Phương pháp giải

1. Quy đồng mẫu thức để đưa biểu thức $A$ về dạng phân thức với mẫu là 120. Phân tích tử thức thành tích của 5 số nguyên liên tiếp. Tích của 5 số nguyên liên tiếp luôn chia hết cho $5! = 120$.

2. Sử dụng kỹ thuật biến đổi đại số kết hợp bất đẳng thức AM-GM và Cauchy-Schwarz. Phân tích $\dfrac{a}{b^{3} + ab} = \dfrac{a}{b} - \dfrac{ab}{b^{2} + a}$ rồi đánh giá.

Giải chi tiết

$A = \dfrac{a^{5}}{120} + \dfrac{a^{4}}{12} + \dfrac{7a^{3}}{24} + \dfrac{5a^{2}}{12} + \dfrac{a}{5}$

$= \dfrac{a}{120}(a^{4} + 10a^{3} + 35a^{2} + 50a + 24)$

$= \dfrac{a}{120}(a^{4} + 3a^{3} + 2a^{2} + 7a^{3} + 21a^{2} + 14a + 12a^{2} + 36a + 24)$

$= \dfrac{a}{120}(a^{2}(a^{2} + 3a + 2) + 7a(a^{2} + 3a + 2) + 12(a^{2} + 3a + 2))$

$= \dfrac{a}{120}(a^{2} + 3a + 2)(a^{2} + 7a + 12)$

$= \dfrac{a}{120}(a^{2} + a + 2a + 2)(a^{2} + 3a + 4a + 12)$

$= \dfrac{a}{120}\lbrack a(a + 1) + 2(a + 1)\rbrack.\lbrack a(a + 3) + 4(a + 3)\rbrack$

$= \dfrac{1}{120}a(a + 1)(a + 2)(a + 3)(a + 4)$

Xét $M = a(a + 1)(a + 2)(a + 3)(a + 4)$

Với mọi $a \in {\mathbb{N}}$ ta có:

- M chứa tích của 3 số tự nhiên liên tiếp nên $M \vdots 3$

- M là tích của 5 số tự nhiên liên tiếp nên $M \vdots 5$

- Trong tích có ít nhất 2 số tự nhiên chẵn liên tiếp, nên $M \vdots 8$

Vì $(3,5,8) = 1$ và $3.5.8 = 120$ nên $M \vdots 120$.

Vậy A là số tự nhiên với mọi $a \in {\mathbb{N}}$.

2. Áp dụng bất đẳng thức Cô-si ta có:

$a + b^{2} \geq 2\sqrt{ab^{2}} = 2b\sqrt{a}$

$\left. \dfrac{2}{\sqrt{a}} = 2.\dfrac{1}{\sqrt{a}}.1 \leq \left( {\dfrac{1}{a} + 1} \right)\Rightarrow\dfrac{1}{2\sqrt{a}} \leq \dfrac{1}{4}\left( {\dfrac{1}{a} + 1} \right) \right.$

Ta có: $\dfrac{a}{b^{3} + ab} = \dfrac{a + b^{2} - b^{2}}{b(a + b^{2})} = \dfrac{1}{b} - \dfrac{b}{a + b^{2}} \geq \dfrac{1}{b} - \dfrac{b}{2b\sqrt{a}} = \dfrac{1}{b} - \dfrac{1}{2\sqrt{a}} \geq \dfrac{1}{b} - \dfrac{1}{4}\left( {\dfrac{1}{a} + 1} \right)$

Tương tự ta có: $\dfrac{b}{c^{3} + bc} \geq \dfrac{1}{c} - \dfrac{1}{4}\left( {\dfrac{1}{b} + 1} \right);\dfrac{c}{a^{3} + ca} \geq \dfrac{1}{a} - \dfrac{1}{4}\left( {\dfrac{1}{c} + 1} \right)$

Suy ra: $\dfrac{a}{b^{3} + ab} + \dfrac{b}{c^{3} + bc} + \dfrac{c}{a^{3} + ca} \geq \dfrac{1}{b} - \dfrac{1}{4}\left( {\dfrac{1}{a} + 1} \right) + \dfrac{1}{c} - \dfrac{1}{4}\left( {\dfrac{1}{b} + 1} \right) + \dfrac{1}{a} - \dfrac{1}{4}\left( {\dfrac{1}{c} + 1} \right)$

$\left. \Rightarrow\dfrac{a}{b^{3} + ab} + \dfrac{b}{c^{3} + bc} + \dfrac{c}{a^{3} + ca} \geq \dfrac{3}{4}\left( {\dfrac{1}{a} + \dfrac{1}{b} + \dfrac{1}{c}} \right) - \dfrac{3}{4} \right.$

$\left. \Rightarrow\dfrac{a}{b^{3} + ab} + \dfrac{b}{c^{3} + bc} + \dfrac{c}{a^{3} + ca} \geq \dfrac{3}{4}\left( {\dfrac{1}{a} + \dfrac{1}{b} + \dfrac{1}{c} - 1} \right) \right.$

$\left. \Rightarrow\dfrac{a}{b^{3} + ab} + \dfrac{b}{c^{3} + bc} + \dfrac{c}{a^{3} + ca} \geq \dfrac{3}{4}\left( {\dfrac{1}{a} + \dfrac{1}{b} + \dfrac{1}{c} + a + b + c - 4} \right) \right.$

$\left. \Rightarrow\dfrac{a}{b^{3} + ab} + \dfrac{b}{c^{3} + bc} + \dfrac{c}{a^{3} + ca} \geq \dfrac{3}{4}\left( {\left( {\dfrac{1}{a} + a} \right) + \left( {\dfrac{1}{b} + b} \right) + \left( {\dfrac{1}{c} + c} \right) - 4} \right) \geq \dfrac{3}{4}(2 + 2 + 2 - 4) = \dfrac{3}{4}.2 = \dfrac{3}{2}\text{~(dpcm)} \right.$

Dấu "=" xảy ra khi và chỉ khi $a = b = c = 1$.

PH/HS 2K10 THAM GIA NHÓM ĐỂ CẬP NHẬT ĐIỂM THI, ĐIỂM CHUẨN MIỄN PHÍ!

Câu hỏi trước

>> Học trực tuyến lớp 9 và Lộ trình UP10 trên Tuyensinh247.com Đầy đủ khoá học các bộ sách: Kết nối tri thức với cuộc sống; Chân trời sáng tạo; Cánh diều. Lộ trình học tập 3 giai đoạn: Học nền tảng lớp 9, Ôn thi vào lớp 10, Luyện Đề. Bứt phá điểm lớp 9, thi vào lớp 10 kết quả cao. Hoàn trả học phí nếu học không hiệu quả. PH/HS tham khảo chi tiết khoá học tại: Link