(3 điểm)Cho tam giác ABC nhọn có góc $\angle A = 45^{{^\circ}}$ nội tiếp $(O;R)$. Vẽ các đường cao
(3 điểm)
Cho tam giác ABC nhọn có góc $\angle A = 45^{{^\circ}}$ nội tiếp $(O;R)$. Vẽ các đường cao BD và CE của tam giác cắt nhau tại H.
a) Chứng minh tứ giác BEDC nội tiếp, xác định tâm I của đường tròn này.
b) Chứng minh $AD.AC = AE.AB$ và tính tỉ số $\dfrac{DE}{BC}$.
c) Tính theo $R$ bán kính đường tròn ngoại tiếp tam giác AED.
Quảng cáo
Sử dụng dấu hiệu nhận biết tứ giác nội tiếp, tam giác đồng dạng và các tính chất của đường tròn ngoại tiếp.
a) Ta có: $\Delta BEC$ vuông tại E và $\Delta BDC$ vuông tại D (Vì BD và CE là hai đường cao). Suy ra: $\Delta BEC$ và $\Delta BDC$ nội tiếp đường tròn đường kính BC.
Hay bốn điểm B, E, D, C cùng nằm trên một đường tròn.
Vậy tứ giác BEDC nội tiếp đường tròn đường kính BC.
Do đó, tâm I của đường tròn này là trung điểm của BC (cạnh huyền).
b) Vì tứ giác BEDC nội tiếp nên $\angle ABC = \angle ADE$ (vì cùng bù với $\angle EDC$).
Xét $\Delta ADE$ và $\Delta ABC$ có: $\angle A$ là góc chung; $\angle ADE = \angle ABC$ (chứng minh trên).
Suy ra: $\left. \Delta ADE \right.\sim\Delta ABC$ (g.g).
Do đó: $\dfrac{AD}{AE} = \dfrac{AB}{AC}$ hay $AD.AC = AE.AB$.
Ta có: $\dfrac{DE}{BC} = \dfrac{AD}{AB}$ (do $\left. \Delta ADE \right.\sim\Delta ABC$).
Trong $\Delta ADB$ vuông tại D, có: $\left. \cos A = \dfrac{AD}{AB}\Rightarrow\dfrac{AD}{AB} = \cos 45^{{^\circ}} = \dfrac{\sqrt{2}}{2} \right.$.
Vậy tỉ số $\dfrac{DE}{BC} = \dfrac{\sqrt{2}}{2}$.
c) Kẻ đường kính AK. Gọi I là trung điểm của BC.
Ta có: $BH\bot AC$ và $KC\bot AC$ (BD đường cao và $\Delta KCA$ vuông tại C)
Suy ra: $BH \parallel KC$. (1)
Ta có: $CH\bot AB$ và $KB\bot AB$ (CE đường cao và $\Delta KBA$ vuông tại B)
Suy ra: $CH \parallel KB$. (2)
Từ (1), (2) suy ra: Tứ giác BHCK là hình bình hành.
Vì I là trung điểm của BC nên I cũng là trung điểm của HK.
Xét $\Delta AKH$ có OI là đường trung bình. Suy ra: $OI = \dfrac{1}{2}AH$.
Đường tròn ngoại tiếp $\Delta ADE$ cũng ngoại tiếp tứ giác ADHE.
Do đó, đường tròn ngoại tiếp $\Delta ADE$ có bán kính là $\dfrac{AH}{2} = OI$.
Ta có: $\angle BAC = \angle BOI = \dfrac{1}{2}\angle BOC = 45^{{^\circ}}$.
Mà $OI\bot BC$ (tính chất đường kính và dây cung)
Suy ra: $\Delta BOI$ vuông cân tại $I$.
Suy ra: $OI = \dfrac{R}{\sqrt{2}} = \dfrac{R\sqrt{2}}{2}$.
Vậy bán kính đường tròn ngoại tiếp $\Delta ADE$ bằng $\dfrac{R\sqrt{2}}{2}$.
Tham Gia Group Dành Cho Học Sinh Lớp 9 - Ôn Thi Vào Lớp 10
>> Học trực tuyến lớp 9 và Lộ trình UP10 trên Tuyensinh247.com . Học online tại nhà cũng giáo viên giỏi từ trường TOP đầu cả nước. Lộ trình học tập 3 giai đoạn: Học nền tảng lớp 9, Ôn thi vào lớp 10, Luyện Đề. Bứt phá điểm lớp 9, thi vào lớp 10 kết quả cao. Hoàn trả học phí nếu học không hiệu quả. Phụ huynh và học sinh tham khảo chi tiết khoá học tại: Link
 |
 |
 |
 |
 |
 |
Hỗ trợ - Hướng dẫn
-
024.7300.7989
-
1800.6947
(Thời gian hỗ trợ từ 7h đến 22h)
Email: lienhe@tuyensinh247.com
