Cho hàm số $f(x) = ax^{3} + bx^{2} + cx + d$ có bảng biến thiên như sau:Tính giá trị của biểu thức

Câu hỏi số 964325:

Vận dụng

Cho hàm số $f(x) = ax^{3} + bx^{2} + cx + d$ có bảng biến thiên như sau:

Tính giá trị của biểu thức $T = 4a + 2b + c + d$.

Đáp án:

Đáp án đúng là: 1

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:964325

Phương pháp giải

Dựa vào bảng biến thiên để xác định hoành độ các điểm cực trị và giá trị cực trị tương ứng của hàm số.

Lập hệ phương trình với 4 ẩn a, b, c, d thông qua các điều kiện: đạo hàm bằng 0 tại các điểm cực trị và đồ thị hàm số đi qua các điểm cực trị đó.

Giải hệ phương trình tìm được các hệ số a, b, c, d rồi thay vào để tính giá trị biểu thức $T$.

Giải chi tiết

Ta có đạo hàm của hàm số là: $f'(x) = 3ax^{2} + 2bx + c$.

Dựa vào bảng biến thiên, ta thấy hàm số đạt cực trị tại $x = 0$ và $x = 4$, do đó:

$\left. f'(0) = 0\Leftrightarrow c = 0 \right.$.

$\left. f'(4) = 0\Leftrightarrow 3a \cdot 4^{2} + 2b \cdot 4 + c = 0\Leftrightarrow 48a + 8b = 0\Leftrightarrow 6a + b = 0 \right.$ (1).

Giá trị của hàm số tại các điểm cực trị là $f(0) = 3$ và $f(4) = - 5$, ta có:

$\left. f(0) = 3\Leftrightarrow d = 3 \right.$.

$\begin{array}{l} \left. f(4) = - 5\Leftrightarrow a \cdot 4^{3} + b \cdot 4^{2} + c \cdot 4 + d = - 5 \right. \\ \left. \Leftrightarrow 64a + 16b + 0 + 3 = - 5 \right. \\ \left. \Leftrightarrow 64a + 16b = - 8 \right. \\ \left. \Leftrightarrow 8a + 2b = - 1\,\,\,\,(2) \right. \end{array}$

Từ (1) và (2) ta có hệ phương trình $\left\{ \begin{array}{l} {6a + b = 0} \\ {8a + 2b = - 1} \end{array} \right.$ $\left. \Leftrightarrow\left\{ \begin{array}{l} {a = \dfrac{1}{4}} \\ {b = - \dfrac{3}{2}} \end{array} \right. \right.$

Vậy ta tìm được $a = \dfrac{1}{4}$, $b = - \dfrac{3}{2}$, $c = 0$, $d = 3$.

Thay các giá trị này vào biểu thức $T$, ta được:

$T = 4 \cdot \dfrac{1}{4} + 2 \cdot \left( {- \dfrac{3}{2}} \right) + 0 + 3 = 1 - 3 + 0 + 3 = 1$.

Đáp án cần điền là: 1

Group 2K8 ôn Thi ĐGNL & ĐGTD Miễn Phí

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> 2K9 Chú ý! Lộ Trình Sun 2027 - 1 lộ trình ôn đa kỳ thi (TN THPT, ĐGNL (Hà Nội/ Hồ Chí Minh), ĐGNL Sư Phạm, ĐGTD, ĐGNL Bộ Công an, ĐGNL Bộ Quốc phòngTD - Click xem ngay) tại Tuyensinh247.com. Cập nhật bám sát bộ SGK mới, Thầy Cô giáo giỏi, 3 bước chi tiết: Nền tảng lớp 12; Luyện thi chuyên sâu; Luyện đề đủ dạng đáp ứng mọi kì thi.