Cho đường tròn (O;R) có đường kính AC và đường thẳng d là tiếp
Cho đường tròn (O;R) có đường kính AC và đường thẳng d là tiếp tuyến của đường tròn (O) tại A. Trên đường thẳng d lấy điểm M khác A sao cho $AM > AO$. Từ điểm M vẽ tiếp tuyến MB với đường tròn (O) (B là tiếp điểm, B khác A).
a) Chứng minh bốn điểm M, A, O, B cùng thuộc một đường tròn và $OM\bot AB$.
b) Gọi D là giao điểm của đoạn MO với đường tròn (O). Tia AD cắt đoạn thẳng MB tại E. Chứng minh rằng $EB^{2} = EA.ED$.
c) Đường phân giác trong góc B của tam giác ABC cắt (O;R) tại K (K khác B). Kẻ $BI\bot AC$ ($I \in AC$). Đặt $BI = x$, tính diện tích $\Delta BIK$ theo R và x.
Quảng cáo
a) Dùng tính chất tiếp tuyến để suy ra các tam giác vuông nội tiếp đường tròn và tính chất hai tiếp tuyến cắt nhau để chứng minh trung trực.
b) Chứng minh hai tam giác $\Delta BED$ và $\Delta AEB$ đồng dạng (góc - góc).
c) Chứng minh tứ giác OIHK là hình chữ nhật, từ đó tính độ dài đường cao và áp dụng công thức tính diện tích tam giác.
a) Ta có: $MA\bot OA,MB\bot OB$ (Vì MA, MB là hai tiếp tuyến của (O)).
Suy ra $\Delta MAO$ và $\Delta MBO$ cùng nội tiếp đường tròn đường kính MO.
Vậy bốn điểm M, A, O, B cùng thuộc một đường tròn đường kính MO.
Ta có: $MA = MB$ (tính chất hai tiếp tuyến cắt nhau) và $OA = OB$ (bán kính).
Suy ra MO là đường trung trực của đoạn thẳng AB.
Vậy $OM\bot AB$.
b) Xét $\Delta BED$ và $\Delta AEB$ có:
$\angle BED = \angle AEB$ (góc chung)
$\angle EBD = \angle EAB$ (góc tạo bởi tiếp tuyến và dây cung và góc nội tiếp cùng chắn cung BD).
Suy ra: $\left. \Delta BED \right.\sim\Delta AEB$ (g.g)
Suy ra: $\left. \dfrac{EB}{EA} = \dfrac{ED}{EB}\Leftrightarrow EB^{2} = EA.ED \right.$.
c) Ta có BK là tia phân giác của $\angle ABC$. Do đó: $\angle ABK = \angle CBK$.
Do AC là đường kính của đường tròn (O) nên cung AK bằng cung CK, do đó K là điểm chính giữa cung AC.
Suy ra: $OK\bot AC$ tại O.
Từ K kẻ $KH\bot BI$. Suy ra tứ giác OIHK là hình chữ nhật (do có 3 góc vuông: $\angle OIH = 90^{{^\circ}},\angle IOK = 90^{{^\circ}},\angle IHK = 90^{{^\circ}}$).
Suy ra: $OI = KH$.
Xét tam giác vuông OIB vuông tại I, ta có: $OI = \sqrt{OB^{2} - BI^{2}} = \sqrt{R^{2} - x^{2}}$.
Khi đó, $KH = \sqrt{R^{2} - x^{2}}$.
Diện tích tam giác BIK là:
$S_{\Delta BIK} = \dfrac{1}{2}.KH.BI = \dfrac{1}{2}.x.\sqrt{R^{2} - x^{2}}$.
Tham Gia Group Dành Cho Học Sinh Lớp 9 - Ôn Thi Vào Lớp 10
>> Học trực tuyến lớp 9 và Lộ trình UP10 trên Tuyensinh247.com . Học online tại nhà cũng giáo viên giỏi từ trường TOP đầu cả nước. Lộ trình học tập 3 giai đoạn: Học nền tảng lớp 9, Ôn thi vào lớp 10, Luyện Đề. Bứt phá điểm lớp 9, thi vào lớp 10 kết quả cao. Hoàn trả học phí nếu học không hiệu quả. Phụ huynh và học sinh tham khảo chi tiết khoá học tại: Link
 |
 |
 |
 |
 |
 |
Hỗ trợ - Hướng dẫn
-
024.7300.7989
-
1800.6947
(Thời gian hỗ trợ từ 7h đến 22h)
Email: lienhe@tuyensinh247.com
