Cho $\Delta ABC$ nhọn ($AB < AC$) nội tiếp đường tròn $(O;R)$. Ba đường cao AD, BE, CF cắt nhau
Cho $\Delta ABC$ nhọn ($AB < AC$) nội tiếp đường tròn $(O;R)$. Ba đường cao AD, BE, CF cắt nhau tại $H$. Gọi là trung điểm của BC.
a) Chứng minh rằng tứ giác BCEF nội tiếp.
b) Kẻ đường kính AK. Chứng minh rằng $AE \cdot AC = AF \cdot AB$ và $EF\bot AK$.
c) Cho $\angle BAC = 60^{{^\circ}}$. Tính độ dài đoạn AH theo R.
Quảng cáo
a) Sử dụng dấu hiệu nhận biết tứ giác nội tiếp: Tứ giác có hai đỉnh kề nhau cùng nhìn một cạnh dưới hai góc bằng nhau (ở đây là góc vuông).
b) Chứng minh hai tam giác đồng dạng $\left. \Delta ABE \right.\sim\Delta ACF$ để suy ra hệ thức. Sử dụng tính chất của góc tạo bởi tiếp tuyến và dây cung, kết hợp góc ngoài tứ giác nội tiếp để chứng minh vuông góc.
c) Kẻ đường kính AK, chứng minh tứ giác BHCK là hình bình hành để suy ra M là trung điểm HK. Từ đó chứng minh OM là đường trung bình của tam giác AHK, suy ra liên hệ $AH = 2OM$. Tính OM thông qua $\Delta BOC$ rồi suy ra AH.
a) Ta có: $BE\bot AC,CF\bot AB$.
Suy ra: $\Delta BFC,\Delta BEC$ lần lượt là hai tam giác vuông tại F, E và có chung cạnh huyền BC.
Do đó $\Delta BFC,\Delta BEC$ cùng nội tiếp nửa đường tròn đường kính BC.
Suy ra: Tứ giác BCEF nội tiếp.
b) Xét $\Delta AEF$ và $\Delta ABC$ có:
$\angle EAF = \angle BAC$ (góc A chung)
$\angle AEF = \angle ABC$ (cùng bù với $\angle CEF$)
Suy ra: $\left. \Delta AEF \right.\sim\Delta ABC$ (g.g)
Do đó: $\dfrac{AE}{AB} = \dfrac{AF}{AC}$ hay $AE \cdot AC = AF \cdot AB$.
Ta có: $\angle AEF = \angle ABC = \angle AKC$ (Do $\angle ABC,\angle AKC$ cùng chắn cung AC)
Ta có: AK là đường kính của $(O)$ nên $\Delta ACK$ vuông tại $C$.
Xét $\Delta AEI$ và $\Delta AKC$ có:
$\angle EAI = \angle KAC$ (góc A chung)
$\angle AEI = \angle AKC$ (chứng minh trên)
Suy ra: $\left. \Delta AEI \right.\sim\Delta AKC$ (g.g)
Do đó: $\angle AIE = \angle ACK = 90^{{^\circ}}$. Suy ra: $EF\bot AK$ tại $I$.
c) Cho $\angle BAC = 60^{{^\circ}}$. Tính độ dài đoạn AH theo $R$.
Ta có: $BH\bot AC$ (do $BE\bot AC$) và $KC\bot AC$. Suy ra: $BH \parallel KC$.
$CH\bot AB$ (do $CF\bot AB$) và $KB\bot AB$. Suy ra: $CH \parallel KB$.
Do đó: Tứ giác BHCK là hình bình hành.
Mà $M$ là trung điểm của BC nên $M$ cũng là trung điểm của HK.
Trong tam giác AHK có: $AH = 2OM$ (OM là đường trung bình).
Xét $\Delta BOM$ có:
$\angle BOM = \angle BAC = 60^{{^\circ}}$ (cùng bằng $\dfrac{1}{2}\angle BOC$).
$\left. \cos\angle BOM = \dfrac{OM}{OB}\Rightarrow OM = OB \cdot \cos\angle BOM = R \cdot \cos 60^{{^\circ}} = \dfrac{R}{2} \right.$.
Vậy $AH = 2OM = 2 \cdot \dfrac{R}{2} = R$.
Tham Gia Group Dành Cho Học Sinh Lớp 9 - Ôn Thi Vào Lớp 10
>> Học trực tuyến lớp 9 và Lộ trình UP10 trên Tuyensinh247.com . Học online tại nhà cũng giáo viên giỏi từ trường TOP đầu cả nước. Lộ trình học tập 3 giai đoạn: Học nền tảng lớp 9, Ôn thi vào lớp 10, Luyện Đề. Bứt phá điểm lớp 9, thi vào lớp 10 kết quả cao. Hoàn trả học phí nếu học không hiệu quả. Phụ huynh và học sinh tham khảo chi tiết khoá học tại: Link
 |
 |
 |
 |
 |
 |
Hỗ trợ - Hướng dẫn
-
024.7300.7989
-
1800.6947
(Thời gian hỗ trợ từ 7h đến 22h)
Email: lienhe@tuyensinh247.com
