Cho tam giác ABC có ba góc nhọn ($AB < AC$) nội tiếp $(O;R)$. Các đường cao AD, BE, CF cắt nhau
Cho tam giác ABC có ba góc nhọn ($AB < AC$) nội tiếp $(O;R)$. Các đường cao AD, BE, CF cắt nhau tại H.
a) Chứng minh: Tứ giác AEHF là tứ giác nội tiếp.
b) Kẻ đường kính AK của $(O)$, $I$ là trung điểm BC. Chứng minh: $AH = 2OI$.
c) Cho số đo $\angle BAC = 60^{{^\circ}}$ và độ dài đường kính đường tròn ngoại tiếp tam giác HEF bằng 12 cm. Tính độ dài BC và EF.
Quảng cáo
a) Dùng định lý tổng hai góc đối của một tứ giác bằng $180^{{^\circ}}$.
b) Chứng minh tứ giác BHCK là hình bình hành. Từ đó sử dụng tính chất đường trung bình của tam giác AHK.
c) Nhận biết AH là đường kính đường tròn ngoại tiếp tứ giác AEHF. Sử dụng các tỉ số lượng giác và hệ quả tam giác đồng dạng để tính BC, EF.
a) Vì $BE\bot AC$ nên $\angle AEH = 90^{{^\circ}}$.
Vì $CF\bot AB$ nên $\angle AFH = 90^{{^\circ}}$.
Xét tứ giác AEHF có: $\angle AEH + \angle AFH = 90^{{^\circ}} + 90^{{^\circ}} = 180^{{^\circ}}$.
Mà $\angle AEH$ và $\angle AFH$ là hai góc ở vị trí đối nhau.
Vậy tứ giác AEHF là tứ giác nội tiếp.
b) Ta có: AK là đường kính của $(O)$.
Suy ra: $\Delta AKC$ vuông tại $C$ (tam giác nội tiếp nửa đường tròn).
Suy ra: $KC\bot AC$ và $BE\bot AC$.
Do đó: $BH//KC$. (*)
Mặt khác, $\Delta AKB$ vuông tại $B$ (tam giác nội tiếp nửa đường tròn).
Suy ra: $KB\bot AB$ và $CF\bot AB$.
Do đó: $KB//CH$. (**)
Từ (*), (**) suy ra: Tứ giác BHCK là hình bình hành.
Mà $I$ là trung điểm của BC, do đó $I$ cũng là trung điểm của HK.
Trong $\Delta AKH$ có OI là đường trung bình.
Suy ra: $AH = 2OI$
c) Ta có: đường tròn ngoại tiếp $\Delta HEF$ cũng là đường tròn ngoại tiếp tứ giác AEHF.
Suy ra: Đường kính đường tròn ngoại tiếp $\Delta HEF$ là $AH = 12\text{~cm}$.
Do đó: $OI = \dfrac{AH}{2} = \dfrac{12}{2} = 6(\text{cm})$.
Vì $\angle BAC = \dfrac{1}{2}\angle BOC = \angle BOI$ nên $\angle BOI = 60^{{^\circ}}$.
Do $I$ là trung điểm BC nên $\Delta BOI$ vuông tại $I$ (định lí đường kính và dây cung)
Xét $\Delta BOI$ vuông tại $I$ ta có:
$\left. \tan\angle BOI = \dfrac{BI}{OI}\Rightarrow BI = OI.\tan\angle BOI = 6.\tan 60^{{^\circ}} = 6\sqrt{3}(\text{cm}) \right.$.
Suy ra: $BC = 2BI = 2.6\sqrt{3} = 12\sqrt{3}(\text{cm})$.
Ta có: $\Delta BFC,\Delta BEC$ là hai tam giác vuông lần lượt tại F, E và cùng có chung cạnh huyền BC.
Do đó, $\Delta BFC,\Delta BEC$ cùng nội tiếp nửa đường tròn đường kính BC.
Hay tứ giác BFEC nội tiếp đường tròn đường kính BC.
Ta có: $\angle AEF = \angle ABC$ (cùng bù với $\angle FEC$).
Xét $\Delta AEF$ và $\Delta ABC$ có:
$\angle EAF = \angle BAC$ (góc chung)
$\angle AEF = \angle ABC$ (chứng minh trên)
Vậy $\Delta AEF \backsim \Delta ABC$ (g.g)
Suy ra: $\dfrac{EF}{BC} = \dfrac{AE}{AB}$.
Xét $\Delta ABE$ vuông tại E, ta có: $\cos\angle BAE = \dfrac{AE}{AB}$.
Do đó: $\left. \dfrac{EF}{BC} = \cos\angle BAE\Rightarrow EF = BC \cdot \cos\angle BAE = 12\sqrt{3} \cdot \cos~60^{{^\circ}} = 12\sqrt{3} \cdot \dfrac{1}{2} = 6\sqrt{3}\text{~(cm)} \right.$
Tham Gia Group Dành Cho Học Sinh Lớp 9 - Ôn Thi Vào Lớp 10
>> Học trực tuyến lớp 9 và Lộ trình UP10 trên Tuyensinh247.com . Học online tại nhà cũng giáo viên giỏi từ trường TOP đầu cả nước. Lộ trình học tập 3 giai đoạn: Học nền tảng lớp 9, Ôn thi vào lớp 10, Luyện Đề. Bứt phá điểm lớp 9, thi vào lớp 10 kết quả cao. Hoàn trả học phí nếu học không hiệu quả. Phụ huynh và học sinh tham khảo chi tiết khoá học tại: Link
 |
 |
 |
 |
 |
 |
Hỗ trợ - Hướng dẫn
-
024.7300.7989
-
1800.6947
(Thời gian hỗ trợ từ 7h đến 22h)
Email: lienhe@tuyensinh247.com
