Cho đường tròn $(O;R)$ đường kính AB. Trên tiếp tuyến tại $A$, lấy điểm $M$ sao cho $AM = R$.
Cho đường tròn $(O;R)$ đường kính AB. Trên tiếp tuyến tại $A$, lấy điểm $M$ sao cho $AM = R$. Đường thẳng MB cắt $(O)$ tại $C$.
a) Kẻ $AH\bot OM$ tại $H$. Chứng minh tứ giác AMCH nội tiếp đường tròn. Từ đó, chứng minh $\left. \Delta AMB \right.\sim\Delta CMA$.
b) Tính $\sin$ của góc $\angle ABM$. Kẻ $OE\bot AC$ tại $E$. Tính độ dài đoạn OE theo $R$.
c) Gọi $I$ là trung điểm của đoạn thẳng OC, $F$ là trung điểm của đoạn thẳng BC. Tính tỉ số diện tích của tứ giác OIFB và tam giác ABM là $\dfrac{S_{OIFB}}{S_{\Delta ABM}}$ bằng bao nhiêu?
Quảng cáo
a) Dùng tính chất tiếp tuyến và góc nội tiếp chắn nửa đường tròn để chứng minh các góc vuông, suy ra tứ giác nội tiếp.
b) Sử dụng định lý Pytago, tỉ số lượng giác và tính chất đường trung bình của tam giác.
c) Tính diện tích các tam giác con thông qua tỉ số đồng dạng và so sánh diện tích.
a) Vì AM là tiếp tuyến của $(O)$ nên $\angle MAB = 90^{{^\circ}}$.
Góc $\angle ACB$ là góc nội tiếp chắn nửa đường tròn nên $\left. \angle ACB = 90^{{^\circ}}\Rightarrow AC\bot MB\Rightarrow\angle MCA = 90^{{^\circ}} \right.$.
Tam giác MAO vuông tại $A$ có đường cao AH nên $\angle MHA = 90^{{^\circ}}$.
Tứ giác AMCH có $\angle MHA = \angle MCA = 90^{{^\circ}}$ nên H, C cùng nhìn đoạn AM dưới góc vuông. Do đó tứ giác AMCH nội tiếp đường tròn đường kính AM.
Xét $\Delta AMB$ và $\Delta CMA$ có:
$\angle AMB$ chung;
$\angle MAB = \angle MCA = 90^{{^\circ}}$;
$\left. \Rightarrow\Delta AMB \right.\sim\Delta CMA$ (g.g).
b) Xét $\Delta MAB$ vuông tại $A$, theo định lý Pytago ta có:
$MB = \sqrt{AM^{2} + AB^{2}} = \sqrt{R^{2} + {(2R)}^{2}} = R\sqrt{5}$.
$\sin\angle ABM = \dfrac{AM}{MB} = \dfrac{R}{R\sqrt{5}} = \dfrac{\sqrt{5}}{5}$.
Vì $OE\bot AC$ tại $E$ nên $E$ là trung điểm của AC.
Lại có $O$ là trung điểm của AB nên OE là đường trung bình của $\Delta ABC$.
$\left. \Rightarrow OE = \dfrac{1}{2}BC \right.$.
Trong $\Delta MAB$ vuông tại $A$, $\cos\angle ABM = \dfrac{AB}{MB} = \dfrac{2R}{R\sqrt{5}} = \dfrac{2\sqrt{5}}{5}$.
Trong $\Delta ABC$ vuông tại $C$, $BC = AB \cdot \cos\angle ABM = 2R \cdot \dfrac{2\sqrt{5}}{5} = \dfrac{4R\sqrt{5}}{5}$.
Vậy $OE = \dfrac{1}{2}BC = \dfrac{2R\sqrt{5}}{5}$.
c) $AC = \sqrt{AB^{2} - BC^{2}} = \dfrac{2R\sqrt{5}}{5}$.
$S_{ABC} = \dfrac{1}{2}AC \cdot BC = \dfrac{1}{2} \cdot \dfrac{2R\sqrt{5}}{5} \cdot \dfrac{4R\sqrt{5}}{5} = \dfrac{4R^{2}}{5}$.
Vì $O$ là trung điểm AB nên $S_{OBC} = \dfrac{1}{2}S_{ABC} = \dfrac{2R^{2}}{5}$.
Vì I, F lần lượt là trung điểm của OC, BC nên IF là đường trung bình của $\Delta OBC$.
$\left. \Rightarrow\Delta IFC \right.\sim\Delta OBC$ theo tỉ số $\left. k = \dfrac{1}{2}\Rightarrow\dfrac{S_{IFC}}{S_{OBC}} = \dfrac{1}{4} \right.$.
Suy ra $S_{OIFB} = S_{OBC} - S_{IFC} = \dfrac{3}{4}S_{OBC} = \dfrac{3}{4} \cdot \dfrac{2R^{2}}{5} = \dfrac{3R^{2}}{10}$.
Lại có $S_{\Delta AMB} = \dfrac{1}{2}AM \cdot AB = \dfrac{1}{2} \cdot R \cdot 2R = R^{2}$.
Vậy $\dfrac{S_{OIFB}}{S_{\Delta AMB}} = \dfrac{3}{10}$.
Tham Gia Group Dành Cho Học Sinh Lớp 9 - Ôn Thi Vào Lớp 10
>> Học trực tuyến lớp 9 và Lộ trình UP10 trên Tuyensinh247.com . Học online tại nhà cũng giáo viên giỏi từ trường TOP đầu cả nước. Lộ trình học tập 3 giai đoạn: Học nền tảng lớp 9, Ôn thi vào lớp 10, Luyện Đề. Bứt phá điểm lớp 9, thi vào lớp 10 kết quả cao. Hoàn trả học phí nếu học không hiệu quả. Phụ huynh và học sinh tham khảo chi tiết khoá học tại: Link
 |
 |
 |
 |
 |
 |
Hỗ trợ - Hướng dẫn
-
024.7300.7989
-
1800.6947
(Thời gian hỗ trợ từ 7h đến 22h)
Email: lienhe@tuyensinh247.com
