Cho điểm A nằm ngoài đường tròn $(O;R)$ sao cho $OA = 2R$. Từ A kẻ AM, AN, là hai tiếp tuyến của
Cho điểm A nằm ngoài đường tròn $(O;R)$ sao cho $OA = 2R$. Từ A kẻ AM, AN, là hai tiếp tuyến của $(O)$ (M, N thuộc $(O)$). Gọi H là giao điểm của OA và MN.
a) Chứng minh OA vuông góc với MN và tính số đo $\angle MAN$.
b) Kẻ MD là đường kính của $(O)$, gọi E là giao điểm AD và đường tròn $(O)$.
Chứng minh: $AH.AO = AE.AD$ và $\angle AOE = \angle ADH$.
c) Tính diện tích tứ giác OHED theo R?
Quảng cáo
Sử dụng tính chất hai tiếp tuyến cắt nhau để chứng minh trung trực. Chứng minh các tam giác đồng dạng để suy ra các tỉ số đoạn thẳng và các góc bằng nhau. Sử dụng công thức tỉ số diện tích hai tam giác đồng dạng.
a) Ta có:
$AM = AN$ (tính chất hai tiếp tuyến cắt nhau)
$OM = ON$ (bán kính)
Suy ra: OA là đường trung trực của đoạn thẳng MN (tính chất đường trung trực)
Vậy OA vuông góc với MN.
Mặt khác, ta có AM và AN là hai tiếp tuyến của $(O)$.
Do đó: $\Delta AMO,\Delta ANO$ vuông lần lượt tại M và N.
Xét $\Delta AMO$ và $\Delta ANO$ có:
$AM = AN$ và OA là cạnh chung.
Suy ra: $\Delta AMO = \Delta ANO$ (cạnh huyền - cạnh góc vuông).
Ta có: $\left. \sin\angle MAO = \dfrac{OM}{AO} = \dfrac{1}{2}\Rightarrow\angle MAO = 30^{{^\circ}} \right.$.
Suy ra: $\angle MAN = 2.\angle MAO = 2.30^{{^\circ}} = 60^{{^\circ}}$.
b) Xét $\Delta MHA$ và $\Delta OMA$ có:
$\angle MHA = \angle OMA = 90^{{^\circ}}$ và $\angle HAM = \angle MAO$ (góc chung)
Suy ra: $\left. \Delta MHA \right.\sim\Delta OMA$ (g.g)
Suy ra: $\dfrac{MA}{OA} = \dfrac{AH}{AM}$ hay $AM^{2} = AH.AO$ (1)
Xét $\Delta MEA$ và $\Delta DMA$ có:
$\angle MEA = \angle DMA = 90^{{^\circ}}$ và $\angle EAM = \angle MAD$ (góc chung)
Suy ra: $\left. \Delta MEA \right.\sim\Delta DMA$ (g.g)
Suy ra: $\dfrac{AM}{AD} = \dfrac{AE}{AM}$ hay $AM^{2} = AE.AD$ (2)
Từ (1), (2) suy ra: $AH.AO = AE.AD$.
Ta có: $AH.AO = AE.AD$ hay $\dfrac{AH}{AE} = \dfrac{AD}{AO}$ và $\angle OAE = \angle DAH$
Suy ra: $\left. \Delta OAE \right.\sim\Delta DAH$ (c.g.c)
Do đó: $\angle AOE = \angle ADH$.
c) Trong $\Delta AMO$ vuông tại M có: $AM = \sqrt{OA^{2} - OM^{2}} = \sqrt{4R^{2} - R^{2}} = R\sqrt{3}$.
Trong $\Delta AMD$ vuông tại M có: $AD = \sqrt{AM^{2} + DM^{2}} = \sqrt{3R^{2} + 4R^{2}} = R\sqrt{7}$.
Ta có: $\left. AM^{2} = AH.AO\Rightarrow AH = \dfrac{AM^{2}}{AO} = \dfrac{3R^{2}}{2R} = 1,5R \right.$
Ta có: $\angle AOE = \angle ADH$ và cùng chắn cung HE. Suy ra: Tứ giác OHED nội tiếp.
Suy ra: $\angle AHE = \angle ADO$ (cùng bù với $\angle OHE$).
Xét $\Delta AHE$ và $\Delta ADO$ có:
$\angle AHE = \angle ADO$ và $\angle HAE = \angle DAO$ (góc chung)
Suy ra: $\left. \Delta AHE \right.\sim\Delta ADO$ (g.g)
Do đó: $\dfrac{S_{\Delta ADO}}{S_{\Delta AHE}} = \left( \dfrac{AD}{AH} \right)^{2} = \dfrac{28R^{2}}{9R^{2}} = \dfrac{28}{9}$.
Mà $S_{\Delta ADO} = S_{\Delta OMA} = \dfrac{1}{2}.OM.AM = \dfrac{1}{2}.R.R\sqrt{3} = \dfrac{R^{2}\sqrt{3}}{2}$.
Suy ra: $S_{OHED} = S_{\Delta ADO} - S_{\Delta AHE} = S_{\Delta ADO} - \dfrac{9}{28}S_{\Delta ADO} = \dfrac{19}{28}S_{\Delta ADO} = \dfrac{19\sqrt{3}R^{2}}{56}$.
Tham Gia Group Dành Cho Học Sinh Lớp 9 - Ôn Thi Vào Lớp 10
>> Học trực tuyến lớp 9 và Lộ trình UP10 trên Tuyensinh247.com . Học online tại nhà cũng giáo viên giỏi từ trường TOP đầu cả nước. Lộ trình học tập 3 giai đoạn: Học nền tảng lớp 9, Ôn thi vào lớp 10, Luyện Đề. Bứt phá điểm lớp 9, thi vào lớp 10 kết quả cao. Hoàn trả học phí nếu học không hiệu quả. Phụ huynh và học sinh tham khảo chi tiết khoá học tại: Link
 |
 |
 |
 |
 |
 |
Hỗ trợ - Hướng dẫn
-
024.7300.7989
-
1800.6947
(Thời gian hỗ trợ từ 7h đến 22h)
Email: lienhe@tuyensinh247.com
