(1,0 điểm) Cho phương trình $x^{2} - 5x - 1 = 0$.a) Chứng minh phương trình có hai nghiệm phân biệt

Câu hỏi số 965303:

Vận dụng

(1,0 điểm) Cho phương trình $x^{2} - 5x - 1 = 0$.

a) Chứng minh phương trình có hai nghiệm phân biệt $x_{1},x_{2}$.

b) Không giải phương trình, tính giá trị của biểu thức:

$P = (x_{1}^{3} - 5x_{1}^{2} + 2)(x_{2}^{3} - 5x_{2}^{2} + 2) + 1$.

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:965303

Phương pháp giải

a) Tính biệt thức $\Delta$ và chứng minh $\Delta > 0$.

b) Áp dụng định lí Viète, kết hợp với việc hạ bậc nghiệm từ phương trình ban đầu để làm tối giản biểu thức.

Giải chi tiết

a) Ta có: $\Delta = {( - 5)}^{2} - 4.1.( - 1) = 29 > 0$.

Vậy phương trình có hai nghiệm phân biệt $x_{1},x_{2}$.

b) Với $x_{1},x_{2}$ là hai nghiệm của phương trình $x^{2} - 5x - 1 = 0$.

Theo định lí Viète, ta có: $\left\{ \begin{array}{l} {x_{1} + x_{2} = - \dfrac{- 5}{1} = 5} \\ {x_{1}x_{2} = - 1} \end{array} \right.$

Vì $x_{1},x_{2}$ là hai nghiệm của phương trình $x^{2} - 5x - 1 = 0$ nên $x_{1}^{2} - 5x_{1} - 1 = 0$ và $x_{2}^{2} - 5x_{2} - 1 = 0$.

Ta có: $P = (x_{1}^{3} - 5x_{1}^{2} + 2)(x_{2}^{3} - 5x_{2}^{2} + 2) + 1$

$P = \lbrack x_{1}(x_{1}^{2} - 5x_{1} - 1) + 2 + x_{1}\rbrack\lbrack x_{2}(x_{2}^{2} - 5x_{2} - 1) + 2 + x_{2}\rbrack + 1$

$P = (2 + x_{1})(2 + x_{2}) + 1$

$P = 2(x_{1} + x_{2}) + x_{1}x_{2} + 5$

$P = 2.5 + ( - 1) + 5$

$P = 14$.

Tham Gia Group Dành Cho Học Sinh Lớp 9 - Ôn Thi Vào Lớp 10

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> Học trực tuyến lớp 9 và Lộ trình UP10 trên Tuyensinh247.com . Học online tại nhà cũng giáo viên giỏi từ trường TOP đầu cả nước. Lộ trình học tập 3 giai đoạn: Học nền tảng lớp 9, Ôn thi vào lớp 10, Luyện Đề. Bứt phá điểm lớp 9, thi vào lớp 10 kết quả cao. Hoàn trả học phí nếu học không hiệu quả. Phụ huynh và học sinh tham khảo chi tiết khoá học tại: Link