(3,0 điểm) Cho đường tròn $(O;R)$. Lấy điểm $A$ sao cho $OA = 3R$. Từ $A$ kẻ hai tiếp tuyến AB,
(3,0 điểm) Cho đường tròn $(O;R)$. Lấy điểm $A$ sao cho $OA = 3R$. Từ $A$ kẻ hai tiếp tuyến AB, AC$($B và $C$ là hai tiếp điểm). Gọi $H$ là giao điểm của OA và BC. Tia OA cắt $(O)$ tại $D$ và $E$ ($D$ nằm giữa $A$ và $O$).
a) Chứng minh tứ giác ABOC nội tiếp và $OA\bot BC$.
b) Chứng minh: $AH.AO = AD.AE$.
c) Tính diện tích $\Delta EBC$ theo $R$.
Quảng cáo
a) Dùng dấu hiệu tổng hai góc đối bằng $180{^\circ}$ và tính chất hai tiếp tuyến cắt nhau.
b) Chứng minh các cặp tam giác đồng dạng.
c) Sử dụng hệ thức lượng trong tam giác vuông và định lí Pythagore để tính các cạnh $\Delta EBC$.
a) Ta có: $AB\bot OB,AC\bot OC$ (Vì AB, AC là hai tiếp tuyến)
Suy ra: $\angle OBA = \angle OCA = 90^{{^\circ}}$ hay $\angle OBA + \angle OCA = 180^{{^\circ}}$
Vậy tứ giác ABOC nội tiếp.
Ta có: $AB = AC$ (tính chất hai tiếp tuyến cắt nhau)
và $OB = OC$ (bán kính)
Suy ra: AO là đường trung trực của BC.
Vậy $OA\bot BC$.
b) Xét $\Delta BEA$ và $\Delta DBA$ có:
$\angle BEA = \angle DBA$ (cùng chắn cung BD)
$\angle BAE = \angle DAB$ (góc chung)
Suy ra: $\left. \Delta BEA \right.\sim\Delta DBA$ (g.g)
Suy ra: $\dfrac{AB}{AD} = \dfrac{AE}{AB}$ hay $AB^{2} = AD.AE$ (1)
Xét $\Delta OBA$ và $\Delta BHA$ có:
$\angle OBA = \angle BHA = 90^{{^\circ}}$
$\angle OAB = \angle BAH$ (góc chung)
Suy ra: $\left. \Delta OBA \right.\sim\Delta BHA$ (g.g)
Suy ra: $\dfrac{AB}{OA} = \dfrac{AH}{AB}$ hay $AB^{2} = AH.AO$ (2)
Từ (1) và (2) suy ra: $AH.AO = AD.AE$.
c) Xét $\Delta OBA$ vuông tại $B$ có: $AB = \sqrt{OA^{2} - OB^{2}} = \sqrt{{(3R)}^{2} - R^{2}} = 2R\sqrt{2}$.
Xét $\Delta OBA$ có: $S_{\Delta OBA} = \dfrac{1}{2}OB.AB = \dfrac{1}{2}BH.OA$.
Suy ra: $BH = \dfrac{OB.AB}{OA} = \dfrac{R.2\sqrt{2}R}{3R} = \dfrac{2R\sqrt{2}}{3}$
Xét $\Delta OBH$ vuông tại $H$ có: $OH = \sqrt{OB^{2} - BH^{2}} = \sqrt{R^{2} - \left( \dfrac{2R\sqrt{2}}{3} \right)^{2}} = \dfrac{R}{3}$
Suy ra: $EH = EO + OH = R + \dfrac{R}{3} = \dfrac{4R}{3}$.
Vậy $S_{\Delta EBC} = \dfrac{1}{2}EH.BC = \dfrac{1}{2}.\dfrac{4R}{3}.\dfrac{4R\sqrt{2}}{3} = \dfrac{8R^{2}\sqrt{2}}{9}$.
Tham Gia Group Dành Cho Học Sinh Lớp 9 - Ôn Thi Vào Lớp 10
>> Học trực tuyến lớp 9 và Lộ trình UP10 trên Tuyensinh247.com . Học online tại nhà cũng giáo viên giỏi từ trường TOP đầu cả nước. Lộ trình học tập 3 giai đoạn: Học nền tảng lớp 9, Ôn thi vào lớp 10, Luyện Đề. Bứt phá điểm lớp 9, thi vào lớp 10 kết quả cao. Hoàn trả học phí nếu học không hiệu quả. Phụ huynh và học sinh tham khảo chi tiết khoá học tại: Link
 |
 |
 |
 |
 |
 |
Hỗ trợ - Hướng dẫn
-
024.7300.7989
-
1800.6947
(Thời gian hỗ trợ từ 7h đến 22h)
Email: lienhe@tuyensinh247.com
