Cho tam giác ABC có ba góc nhọn (AB < AC). Đường tròn $(O)$ đường kính
Cho tam giác ABC có ba góc nhọn (AB < AC). Đường tròn $(O)$ đường kính BC cắt hai cạnh AB, AC lần lượt tại $E$ và $F$ ($E$ khác $B$, $F$ khác $C$). Các đoạn thẳng BF và CE cắt nhau tại $H$, tia AH cắt BC tại $K$.
a) Chứng minh $\angle BEC = \angle BFC = 90^{{^\circ}}$, từ đó suy ra tứ giác AEHF nội tiếp.
b) Gọi $D$ là giao điểm của AH và $(O)$ ($D$ nằm giữa $A$ và $H$). Chứng minh $BD^{2} = BK.BC$ và $\angle BDH = \angle BFD$.
c) Trong trường hợp $\angle BAC = 60^{{^\circ}}$ và $BC = 6$ cm. Tính độ dài đoạn thẳng EF và bán kính đường tròn ngoại tiếp tam giác AEF.
Quảng cáo
a) Sử dụng tính chất góc nội tiếp chắn nửa đường tròn để chứng minh góc vuông, từ đó chỉ ra tứ giác có tổng hai góc đối bằng $180^{{^\circ}}$.
b) Chứng minh $H$ là trực tâm tam giác, suy ra đường cao thứ ba để có góc vuông, từ đó chứng minh hai tam giác đồng dạng.
c) Dùng hệ thức lượng giác cơ bản và định lý Sin trong tam giác để tính các đại lượng.
a) Ta có: $\angle BEC$ và $\angle BFC$ là hai góc nội tiếp chắn nửa đường tròn.
Suy ra: $\angle BEC = \angle BFC = 90^{{^\circ}}$.
Ta có: $\angle AEH = \angle AFH = 90^{{^\circ}}$ hay $\angle AEH + \angle AFH = 180^{{^\circ}}$.
Vậy tứ giác AEHF nội tiếp.
b) Ta có: $\Delta BDC$ vuông tại $D$ (nội tiếp nửa đường tròn).
Xét $\Delta BDC$ và $\Delta BKD$ có:
$\angle DBC = \angle KBD$ (góc chung) và $\angle BDC = \angle BKD = 90^{{^\circ}}$
Suy ra: $\left. \Delta BDC \right.\sim\Delta BKD$ (g.g)
Suy ra: $BD^{2} = BK.BC$ hay $BD^{2} = BK.BC$.
Ta có: $\angle BDH = \angle BCD$ và $\angle BCD = \angle BFD$ (cùng chắn cung BD)
Suy ra: $\angle BDH = \angle BFD$.
c) Ta chứng minh được tứ giác BEFC nội tiếp.
Suy ra: $\angle BCA = \angle FEA$ (cùng bù với $\angle BEF$).
Xét $\Delta AEF$ và $\Delta ACB$ có: $\angle FEA = \angle BCA$ và $\angle A$ (góc chung)
Suy ra: $\left. \Delta AEF \right.\sim\Delta ACB$ (g.g) hay $\dfrac{AF}{AB} = \dfrac{EF}{CB}$
Trong $\Delta ABF$ vuông tại $F$ có $\cos A = \dfrac{AF}{AB}$ hay $\cos 60^{{^\circ}} = \dfrac{EF}{CB}$.
Suy ra: $EF = BC.\cos 60^{{^\circ}} = 6.\cos 60^{{^\circ}} = 3$ (cm).
Gọi $R$ là bán kính đường tròn ngoại tiếp $\Delta AEF$. Áp dụng định lý Sin trong $\Delta AEF$, ta có:$\dfrac{EF}{\sin(\angle EAF)} = 2R$$2R = \dfrac{3}{\sin 60^{{^\circ}}} = \dfrac{3}{\dfrac{\sqrt{3}}{2}} = 2\sqrt{3}$
Suy ra $R = \sqrt{3}$ (cm).
Tham Gia Group Dành Cho Học Sinh Lớp 9 - Ôn Thi Vào Lớp 10
>> Học trực tuyến lớp 9 và Lộ trình UP10 trên Tuyensinh247.com . Học online tại nhà cũng giáo viên giỏi từ trường TOP đầu cả nước. Lộ trình học tập 3 giai đoạn: Học nền tảng lớp 9, Ôn thi vào lớp 10, Luyện Đề. Bứt phá điểm lớp 9, thi vào lớp 10 kết quả cao. Hoàn trả học phí nếu học không hiệu quả. Phụ huynh và học sinh tham khảo chi tiết khoá học tại: Link
 |
 |
 |
 |
 |
 |
Hỗ trợ - Hướng dẫn
-
024.7300.7989
-
1800.6947
(Thời gian hỗ trợ từ 7h đến 22h)
Email: lienhe@tuyensinh247.com
