Cho các số thực dương a, b, c thỏa mãn $a + b + c = 3$. Chứng minh rằng: $\dfrac{1}{a} + \dfrac{1}{b} +

Câu hỏi số 965898:

Vận dụng

Cho các số thực dương a, b, c thỏa mãn $a + b + c = 3$.

Chứng minh rằng: $\dfrac{1}{a} + \dfrac{1}{b} + \dfrac{1}{c} \geq \sqrt{\dfrac{a^{4} + 1}{2a^{2}}} + \sqrt{\dfrac{b^{4} + 1}{2b^{2}}} + \sqrt{\dfrac{c^{4} + 1}{2c^{2}}}$

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:965898

Phương pháp giải

Thực hiện biến đổi tương đương để đánh giá và chứng minh bất đẳng thức phụ cho từng biến. Sau đó sử dụng phép cộng các bất đẳng thức cùng chiều và áp dụng giả thiết tổng bằng 3 để chứng minh bài toán.

Giải chi tiết

Ta có:

$\left. {(\sqrt{\dfrac{a^{4} + 1}{2a^{2}}} - 1)}^{2} \geq 0\Leftrightarrow\dfrac{a^{4} + 1}{2a^{2}} - 2\sqrt{\dfrac{a^{4} + 1}{2a^{2}}} + 1 \geq 0 \right.$

$(\dfrac{a^{4} + 1}{a^{2}} - \dfrac{a^{4} + 1}{2a^{2}}) - 2\sqrt{\dfrac{a^{4} + 1}{2a^{2}}} + 1 \geq 0$

$\dfrac{a^{4} + 1}{a^{2}} + 2 \geq \dfrac{a^{4} + 1}{2a^{2}} + 2\sqrt{\dfrac{a^{4} + 1}{2a^{2}}} + 1$

$\dfrac{a^{4} + 2a^{2} + 1}{a^{2}} \geq {(\sqrt{\dfrac{a^{4} + 1}{2a^{2}}} + 1)}^{2}$

$\dfrac{{(a^{2} + 1)}^{2}}{a^{2}} \geq {(\sqrt{\dfrac{a^{4} + 1}{2a^{2}}} + 1)}^{2}$

${(a + \dfrac{1}{a})}^{2} \geq {(\sqrt{\dfrac{a^{4} + 1}{2a^{2}}} + 1)}^{2}$

Do $a > 0$, suy ra $a + \dfrac{1}{a} \geq \sqrt{\dfrac{a^{4} + 1}{2a^{2}}} + 1$ (1)

Dấu bằng xảy ra khi $a = 1$.

Tương tự, ta có:

$b + \dfrac{1}{b} \geq \sqrt{\dfrac{b^{4} + 1}{2b^{2}}} + 1$ (2)

$c + \dfrac{1}{c} \geq \sqrt{\dfrac{c^{4} + 1}{2c^{2}}} + 1$ (3)

Cộng vế theo vế (1), (2) và (3) ta được:

$a + b + c + \dfrac{1}{a} + \dfrac{1}{b} + \dfrac{1}{c} \geq \sqrt{\dfrac{a^{4} + 1}{2a^{2}}} + \sqrt{\dfrac{b^{4} + 1}{2b^{2}}} + \sqrt{\dfrac{c^{4} + 1}{2c^{2}}} + 3$

Mà $a + b + c = 3$, nên:

$3 + \dfrac{1}{a} + \dfrac{1}{b} + \dfrac{1}{c} \geq \sqrt{\dfrac{a^{4} + 1}{2a^{2}}} + \sqrt{\dfrac{b^{4} + 1}{2b^{2}}} + \sqrt{\dfrac{c^{4} + 1}{2c^{2}}} + 3$

$\dfrac{1}{a} + \dfrac{1}{b} + \dfrac{1}{c} \geq \sqrt{\dfrac{a^{4} + 1}{2a^{2}}} + \sqrt{\dfrac{b^{4} + 1}{2b^{2}}} + \sqrt{\dfrac{c^{4} + 1}{2c^{2}}}$

Bất đẳng thức đã được chứng minh. Dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi $a = b = c = 1$.

Tham Gia Group Dành Cho Học Sinh Lớp 9 - Ôn Thi Vào Lớp 10

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> Học trực tuyến lớp 9 và Lộ trình UP10 trên Tuyensinh247.com . Học online tại nhà cũng giáo viên giỏi từ trường TOP đầu cả nước. Lộ trình học tập 3 giai đoạn: Học nền tảng lớp 9, Ôn thi vào lớp 10, Luyện Đề. Bứt phá điểm lớp 9, thi vào lớp 10 kết quả cao. Hoàn trả học phí nếu học không hiệu quả. Phụ huynh và học sinh tham khảo chi tiết khoá học tại: Link