Gọi A và B là hai điểm phân biệt trên đồ thị của hàm số $y = \log_{3}(5x - 3)$ sao cho A là trung

Câu hỏi số 965911:

Vận dụng

Gọi A và B là hai điểm phân biệt trên đồ thị của hàm số $y = \log_{3}(5x - 3)$ sao cho A là trung điểm của đoạn OB. Độ dài đoạn thẳng AB có dạng $\dfrac{\sqrt{a}}{b}$. Tính giá trị ab.

Trả lời:

Đáp án đúng là:

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:965911

Phương pháp giải

Sử dụng tính chất tọa độ trung điểm: Vì A là trung điểm của đoạn OB với $O(0,0)$ nên $x_{B} = 2x_{A}$ và $y_{B} = 2y_{A}$.

Thay tọa độ điểm A và điểm B vào phương trình hàm số để lập phương trình theo ẩn $x_{A}$.

Giải phương trình tìm $x_{A}$, từ đó tìm được tọa độ điểm A và tính độ dài đoạn thẳng $AB = OA$.

Đồng nhất kết quả với biểu thức $\dfrac{\sqrt{a}}{b}$ để tìm a, b và tính giá trị ab.

Giải chi tiết

Điều kiện xác định: $\left. 5x - 3 > 0\Leftrightarrow x > \dfrac{3}{5} \right.$.

Gọi tọa độ điểm $A(x_{A},y_{A})$ và điểm $B(x_{B},y_{B})$.

Vì A là trung điểm của đoạn OB nên ta có: $\left\{ \begin{array}{l} {x_{B} = 2x_{A}} \\ {y_{B} = 2y_{A}} \end{array} \right.$

Do hai điểm A, B thuộc đồ thị hàm số $y = \log_{3}(5x - 3)$ nên ta có hệ phương trình:

$y_{A} = \log_{3}(5x_{A} - 3)$ (1)

$\left. y_{B} = \log_{3}(5x_{B} - 3)\Leftrightarrow 2y_{A} = \log_{3}(10x_{A} - 3) \right.$ (2)

Mà $2y_{A} = 2\log_{3}(5x_{A} - 3) = \log_{3}{(5x_{A} - 3)}^{2}$

Từ đó suy ra:

$\log_{3}{(5x_{A} - 3)}^{2} = \log_{3}(10x_{A} - 3)$

$\left. \Leftrightarrow{(5x_{A} - 3)}^{2} = 10x_{A} - 3 \right.$

$\left. \Leftrightarrow 25x_{A}^{2} - 30x_{A} + 9 = 10x_{A} - 3 \right.$

$\left. \Leftrightarrow 25x_{A}^{2} - 40x_{A} + 12 = 0 \right.$

$\left. \Leftrightarrow x_{A} = \dfrac{6}{5} \right.$ (thỏa mãn) hoặc $x_{A} = \dfrac{2}{5}$ (loại vì không thỏa mãn điều kiện $x > \dfrac{3}{5}$).

Với $x_{A} = \dfrac{6}{5}$, ta tính được $y_{A} = \log_{3}(5 \cdot \dfrac{6}{5} - 3) = \log_{3}(3) = 1$.

Suy ra tọa độ điểm $A\left( {\dfrac{6}{5},1} \right)$.

Vì A là trung điểm của OB nên đoạn thẳng AB = OA.

$AB = \sqrt{\left( \dfrac{6}{5} \right)^{2} + 1^{2}} = \dfrac{\sqrt{61}}{5}$.

Mặt khác, theo giả thiết $AB = \dfrac{\sqrt{a}}{b}$.

Suy ra $a = 61$ và $b = 5$.

Vậy $ab = 61 \cdot 5 = 305$.

Đáp án cần điền là: 305

Group 2K8 ôn Thi ĐGNL & ĐGTD Miễn Phí

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> 2K9 Chú ý! Lộ Trình Sun 2027 - 1 lộ trình ôn đa kỳ thi (TN THPT, ĐGNL (Hà Nội/ Hồ Chí Minh), ĐGNL Sư Phạm, ĐGTD, ĐGNL Bộ Công an, ĐGNL Bộ Quốc phòngTD - Click xem ngay) tại Tuyensinh247.com. Cập nhật bám sát bộ SGK mới, Thầy Cô giáo giỏi, 3 bước chi tiết: Nền tảng lớp 12; Luyện thi chuyên sâu; Luyện đề đủ dạng đáp ứng mọi kì thi.