Một xưởng sản xuất robot hút bụi thông minh đang trong giai đoạn tăng tốc. Số lượng

Câu hỏi số 965913:

Vận dụng

Một xưởng sản xuất robot hút bụi thông minh đang trong giai đoạn tăng tốc. Số lượng robot sản xuất mỗi tháng là x (chiếc), với $x \in {\mathbb{N}}^{*}$ và $10 \leq x \leq 500$. Mỗi robot được bán với giá cố định là 12 triệu đồng, tổng chi phí sản xuất mỗi tháng là $C(x) = 150 \cdot e^{0,005x} + 450$ (triệu đồng). Để xưởng đạt lợi nhuận tối thiểu là 1,5 tỷ đồng mỗi tháng, xưởng cần sản xuất và tiêu thụ ít nhất bao nhiêu robot một tháng?

Trả lời:

Đáp án đúng là:

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:965913

Phương pháp giải

Lập hàm số tính lợi nhuận theo số lượng robot x.

Thiết lập bất phương trình lợi nhuận lớn hơn hoặc bằng mức tối thiểu mà đề bài yêu cầu.

Khảo sát hàm số để chứng minh tính đơn điệu và tìm giá trị nguyên nhỏ nhất của x thỏa mãn.

Giải chi tiết

Đổi 1,5 tỷ đồng = 1500 triệu đồng.

Tổng doanh thu mỗi tháng khi bán x chiếc robot là: $T(x) = 12x$ (triệu đồng).

Lợi nhuận mỗi tháng của xưởng là:

$P(x) = T(x) - C(x) = 12x - (150 \cdot e^{0,005x} + 450) = 12x - 150 \cdot e^{0,005x} - 450$ (triệu đồng).

Để xưởng đạt lợi nhuận tối thiểu 1500 triệu đồng, ta có bất phương trình:

$P(x) \geq 1500$

$\left. \Leftrightarrow 12x - 150 \cdot e^{0,005x} - 450 \geq 1500 \right.$

$\left. \Leftrightarrow 12x - 150 \cdot e^{0,005x} - 1950 \geq 0 \right.$

Xét hàm số $f(x) = 12x - 150 \cdot e^{0,005x} - 1950$ trên đoạn [10; 500].

Đạo hàm $f'(x) = 12 - 150 \cdot 0,005 \cdot e^{0,005x} = 12 - 0,75 \cdot e^{0,005x}$.

Xét $\left. f'(x) = 0\Leftrightarrow e^{0,005x} = \dfrac{12}{0,75} = 16\Leftrightarrow 0,005x = \ln 16\Leftrightarrow x = 200\ln 16 \approx 554,5 \right.$.

Do $x \leq 500 < 554,5$ nên $f'(x) > 0$ với mọi $x \in \lbrack 10;500\rbrack$.

Suy ra hàm số $f(x)$ luôn đồng biến trên đoạn [10;500].

Xét $\left. f(x) = 12x - 150 \cdot e^{0,005x} - 1950 = 0\Leftrightarrow x \approx 195,7669 \right.$

Với $x = 195$, ta có $f(195) = 12 \cdot 195 - 150 \cdot e^{0,005 \cdot 195} - 1950 \approx - 7,68 < 0$ (không thỏa mãn).

Với $x = 196$, ta có $f(196) = 12 \cdot 196 - 150 \cdot e^{0,005 \cdot 196} - 1950 \approx 2,33 > 0$ (thỏa mãn).

Vì hàm số đồng biến nên với mọi số nguyên $x \geq 196$ thì $f(x) > 0$.

Vậy xưởng cần sản xuất và tiêu thụ ít nhất 196 robot một tháng.

Đáp án cần điền là: 196

Group 2K8 ôn Thi ĐGNL & ĐGTD Miễn Phí

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> 2K9 Chú ý! Lộ Trình Sun 2027 - 1 lộ trình ôn đa kỳ thi (TN THPT, ĐGNL (Hà Nội/ Hồ Chí Minh), ĐGNL Sư Phạm, ĐGTD, ĐGNL Bộ Công an, ĐGNL Bộ Quốc phòngTD - Click xem ngay) tại Tuyensinh247.com. Cập nhật bám sát bộ SGK mới, Thầy Cô giáo giỏi, 3 bước chi tiết: Nền tảng lớp 12; Luyện thi chuyên sâu; Luyện đề đủ dạng đáp ứng mọi kì thi.