Cho khối lăng trụ tam giác đều ABC.A'B'C'. Biết số đo góc nhị diện [A',BC,A] bằng

Câu hỏi số 965915:

Vận dụng

Cho khối lăng trụ tam giác đều ABC.A'B'C'. Biết số đo góc nhị diện [A',BC,A] bằng $30^{{^\circ}}$ và tam giác A'BC có diện tích bằng 32. Khoảng cách giữa hai đường thẳng AB và A'C' bằng bao nhiêu?

Trả lời:

Đáp án đúng là:

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:965915

Phương pháp giải

Sử dụng tính chất của lăng trụ tam giác đều để xác định góc phẳng nhị diện của góc nhị diện [A', BC, A].

Thiết lập mối quan hệ giữa các cạnh, sử dụng giả thiết diện tích tam giác A'BC để tính độ dài cạnh đáy và chiều cao của lăng trụ.

Sử dụng định nghĩa đoạn vuông góc chung để xác định khoảng cách giữa hai đường thẳng chéo nhau AB và A'C'.

Giải chi tiết

Gọi M là trung điểm của cạnh BC.

Vì ABC.A'B'C' là khối lăng trụ tam giác đều nên đáy ABC là tam giác đều và cạnh bên AA' vuông góc với mặt phẳng đáy (ABC).

Xét tam giác đều ABC, ta có trung tuyến AM đồng thời là đường cao nên $AM\bot BC$.

Mặt khác, do $AA'\bot(ABC)$ nên $AA'\bot BC$.

Từ đó suy ra $\left. BC\bot(A'AM)\Rightarrow BC\bot A'M \right.$.

Ta có:

$A'M \subset (A'BC)$ và $A'M\bot BC$

$AM \subset (ABC)$ và $AM\bot BC$

Suy ra góc phẳng nhị diện của góc nhị diện [A', BC, A] là góc $\widehat{A^{\prime}MA}$.

Theo giả thiết, $\widehat{A^{\prime}MA} = 30^{{^\circ}}$.

Gọi độ dài cạnh đáy của lăng trụ là a ($a > 0$).

Chiều cao của tam giác đều ABC là $AM = \dfrac{a\sqrt{3}}{2}$.

Trong tam giác vuông A'AM, ta có:

$A'M = \dfrac{AM}{\cos\widehat{A^{\prime}MA}} = \dfrac{\dfrac{a\sqrt{3}}{2}}{\cos 30^{{^\circ}}} = \dfrac{\dfrac{a\sqrt{3}}{2}}{\dfrac{\sqrt{3}}{2}} = a$.

$AA' = AM \cdot \tan\widehat{A^{\prime}MA} = \dfrac{a\sqrt{3}}{2} \cdot \tan 30^{{^\circ}} = \dfrac{a\sqrt{3}}{2} \cdot \dfrac{1}{\sqrt{3}} = \dfrac{a}{2}$.

Theo giả thiết, diện tích tam giác A'BC bằng 32, ta có:

$S_{A'BC} = \dfrac{1}{2} \cdot A'M \cdot BC = 32$ $\left. \Leftrightarrow\dfrac{1}{2} \cdot a \cdot a = 32 \right.$

$\left. \Leftrightarrow a^{2} = 64\Rightarrow a = 8 \right.$.

Suy ra chiều cao của khối lăng trụ là $AA' = \dfrac{8}{2} = 4$.

Xét hai đường thẳng AB và A'C':

Do ABC.A'B'C' là lăng trụ đứng nên $\left. AA'\bot(ABC)\Rightarrow AA'\bot AB \right.$.

Tương tự, $\left. AA'\bot(A'B'C')\Rightarrow AA'\bot A'C' \right.$.

Mặt khác, AA' cắt đường thẳng AB tại A và cắt đường thẳng A'C' tại A'.

Như vậy, AA' chính là đoạn vuông góc chung của hai đường thẳng chéo nhau AB và A'C'.

Vậy khoảng cách giữa hai đường thẳng AB và A'C' là $d(AB,A'C') = AA' = 4$.

Đáp án cần điền là: 4

Group 2K8 ôn Thi ĐGNL & ĐGTD Miễn Phí

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> 2K9 Chú ý! Lộ Trình Sun 2027 - 1 lộ trình ôn đa kỳ thi (TN THPT, ĐGNL (Hà Nội/ Hồ Chí Minh), ĐGNL Sư Phạm, ĐGTD, ĐGNL Bộ Công an, ĐGNL Bộ Quốc phòngTD - Click xem ngay) tại Tuyensinh247.com. Cập nhật bám sát bộ SGK mới, Thầy Cô giáo giỏi, 3 bước chi tiết: Nền tảng lớp 12; Luyện thi chuyên sâu; Luyện đề đủ dạng đáp ứng mọi kì thi.