Trong không gian Oxyz, cho điểm $C(0;6;1)$ và đường thẳng $\Delta$ song song với trục Oz . Một điểm

Câu hỏi số 965916:

Vận dụng

Trong không gian Oxyz, cho điểm $C(0;6;1)$ và đường thẳng $\Delta$ song song với trục Oz . Một điểm M di động trên $\Delta$ sao cho $0 \leq z_{M} \leq 10$ . Biết rằng tổng khoảng cách từ hai điểm $A(3;0;0)$ và $B( - 3;0;0)$ đến $\Delta$ bằng $2\sqrt{34}$. Khi khoảng cách MC ngắn nhất, điểm M trùng với $M_{0}(x_{0};y_{0};z_{0})$ . Tính $S = x_{0} + 20y_{0} + 11z_{0}$.

Trả lời:

Đáp án đúng là:

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:965916

Phương pháp giải

Khoảng cách từ một điểm đến đường thẳng song song với trục Oz bằng khoảng cách giữa hình chiếu vuông góc của chúng trên mặt phẳng (Oxy).

Đưa giả thiết tổng khoảng cách về phương trình đường elip trên mặt phẳng (Oxy).

Đánh giá khoảng cách MC đạt giá trị nhỏ nhất dựa trên biểu thức bậc hai và tính chất của hàm số trên một đoạn.

Tìm tọa độ điểm $M_{0}$ và tính tổng S.

Giải chi tiết

Gọi $H(x;y;0)$ là hình chiếu vuông góc của điểm M trên mặt phẳng (Oxy).

Vì $\Delta$ song song với Oz nên H cũng là giao điểm của đường thẳng $\Delta$ với mặt phẳng $(Oxy)$.

Mọi điểm nằm trên đường thẳng $\Delta$ đều có cùng hoành độ và tung độ.

Suy ra $M(x;y;z_{M})$ với $0 \leq z_{M} \leq 10$.

Khoảng cách từ $A(3;0;0)$ đến $\Delta$ bằng độ dài đoạn thẳng $AH = \sqrt{{(x - 3)}^{2} + y^{2}}$.

Khoảng cách từ $B( - 3;0;0)$ đến $\Delta$ bằng độ dài đoạn thẳng $BH = \sqrt{{(x + 3)}^{2} + y^{2}}$.

Theo đề bài có $AH + BH = 2\sqrt{34}$.

Tập hợp các điểm $H(x;y)$ trên mặt phẳng $(Oxy)$ thỏa mãn điều kiện này là một đường elip (E) có hai tiêu điểm là $A(3;0)$ và $B( - 3;0)$.

Elip $(E)$ có độ dài trục lớn $2a = 2\sqrt{34}$, suy ra $a = \sqrt{34}$.

Tiêu cự của elip là $2c = AB = 6$, suy ra $c = 3$.

Bán trục nhỏ $b = \sqrt{a^{2} - c^{2}} = \sqrt{34 - 9} = 5$.

Phương trình chính tắc của elip $(E)$ là: $\dfrac{x^{2}}{34} + \dfrac{y^{2}}{25} = 1$.

Khoảng cách $MC^{2} = {(x - 0)}^{2} + {(y - 6)}^{2} + {(z_{M} - 1)}^{2} = x^{2} + {(y - 6)}^{2} + {(z_{M} - 1)}^{2}$.

Để MC ngắn nhất thì $MC^{2}$ nhỏ nhất.

Do x, y và $z_{M}$ độc lập, ta tìm giá trị nhỏ nhất của từng phần:

Thứ nhất, vì $0 \leq z_{M} \leq 10$ nên ${(z_{M} - 1)}^{2} \geq 0$, dấu bằng xảy ra khi $z_{M} = 1$.

Thứ hai, gọi $P = x^{2} + {(y - 6)}^{2}$ với điểm $(x;y)$ thuộc elip $(E)$.

Ta có $x^{2} = 34(1 - \dfrac{y^{2}}{25}) = 34 - \dfrac{34}{25}y^{2}$ (điều kiện $- 5 \leq y \leq 5$).

Thay $x^{2}$ vào biểu thức $P$, ta được:

$P = 34 - \dfrac{34}{25}y^{2} + y^{2} - 12y + 36 = - \dfrac{9}{25}y^{2} - 12y + 70$.

Xét hàm số $f(y) = - \dfrac{9}{25}y^{2} - 12y + 70$ trên đoạn $\lbrack - 5;5\rbrack$.

Đạo hàm $f'(y) = - \dfrac{18}{25}y - 12$.

Vì $y \geq - 5$ nên $f'(y) \leq - \dfrac{18}{25}( - 5) - 12 = - 8,4 < 0$.

Hàm số $f(y)$ nghịch biến trên đoạn $\lbrack - 5;5\rbrack$, suy ra giá trị nhỏ nhất của $f(y)$ đạt được tại $y = 5$.

Khi $y = 5$, thay vào phương trình elip ta có $x^{2} = 0$, suy ra $x = 0$.

Vậy điểm M làm cho MC ngắn nhất có tọa độ là $M_{0}(0;5;1)$.

Ta có $x_{0} = 0$, $y_{0} = 5$, $z_{0} = 1$.

Tính $S = x_{0} + 20y_{0} + 11z_{0} = 0 + 20(5) + 11(1) = 111$.

Đáp án cần điền là: 111

Group 2K8 ôn Thi ĐGNL & ĐGTD Miễn Phí

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> 2K9 Chú ý! Lộ Trình Sun 2027 - 1 lộ trình ôn đa kỳ thi (TN THPT, ĐGNL (Hà Nội/ Hồ Chí Minh), ĐGNL Sư Phạm, ĐGTD, ĐGNL Bộ Công an, ĐGNL Bộ Quốc phòngTD - Click xem ngay) tại Tuyensinh247.com. Cập nhật bám sát bộ SGK mới, Thầy Cô giáo giỏi, 3 bước chi tiết: Nền tảng lớp 12; Luyện thi chuyên sâu; Luyện đề đủ dạng đáp ứng mọi kì thi.