Tel: 024.7300.7989 - Phone: 1800.6947 (Thời gian hỗ trợ từ 7h đến 22h)

Giỏ hàng của tôi
Trang chủ
Luyện thi đại học môn toán

Trong không gian Oxyz, cho ba điểm $A(2;1; - 1)$, $B(3;0;1)$, $C(2; - 1;3)$ và mặt cầu $(S):x^{2} + y^{2} +

Câu hỏi số 965969:
Vận dụng

Trong không gian Oxyz, cho ba điểm $A(2;1; - 1)$, $B(3;0;1)$, $C(2; - 1;3)$ và mặt cầu $(S):x^{2} + y^{2} + z^{2} - 4x + 2y - 4z + 5 = 0$.

Đúng Sai
a) Điểm $M(x;y;z)$ di động trên mặt cầu $(S)$. Giá trị lớn nhất của biểu thức $P = MA^{2} + 2MB^{2} - MC^{2}$ bằng $26 + 8\sqrt{14}$.
b) Phương trình mặt phẳng $(ABC)$ là $x + y + z - 2 = 0$.
c) Độ dài đoạn thẳng AB bằng $\sqrt{6}$.
d) Mặt phẳng $(ABC)$ tiếp xúc với mặt cầu $(S)$.

Đáp án đúng là: Đ; S; Đ; S

Quảng cáo

Xem lời giải
Câu hỏi:965969
Phương pháp giải

- Xác định tâm và bán kính mặt cầu.

- Sử dụng phương pháp vectơ để tìm giá trị lớn nhất của biểu thức độ dài.

- Viết phương trình mặt phẳng đi qua ba điểm.

- Tính khoảng cách từ tâm mặt cầu đến mặt phẳng để kiểm tra tính tiếp xúc.

Giải chi tiết

Mặt cầu $(S)$ có tâm $I(2; - 1;2)$, bán kính $R = \sqrt{2^{2} + {( - 1)}^{2} + 2^{2} - 5} = 2$.

a) Đúng: Ta có

$MA^{2} = \left( {\overset{\rightarrow}{MI} + \overset{\rightarrow}{IA}} \right)^{2} = MI^{2} + IA^{2} + 2\overset{\rightarrow}{MI} \cdot \overset{\rightarrow}{IA}$.

$MB^{2} = \left( {\overset{\rightarrow}{MI} + \overset{\rightarrow}{IB}} \right)^{2} = MI^{2} + IB^{2} + 2\overset{\rightarrow}{MI} \cdot \overset{\rightarrow}{IB}$.

$MC^{2} = \left( {\overset{\rightarrow}{MI} + \overset{\rightarrow}{IC}} \right)^{2} = MI^{2} + IC^{2} + 2\overset{\rightarrow}{MI} \cdot \overset{\rightarrow}{IC}$.

Suy ra $P = 2R^{2} + IA^{2} + 2IB^{2} - IC^{2} + 2\overset{\rightarrow}{MI} \cdot (\overset{\rightarrow}{IA} + 2\overset{\rightarrow}{IB} - \overset{\rightarrow}{IC})$.

Ta có $IA^{2} = 13$, $IB^{2} = 3$, $IC^{2} = 1$.

Đặt $\left. \overset{\rightarrow}{u} = \overset{\rightarrow}{IA} + 2\overset{\rightarrow}{IB} - \overset{\rightarrow}{IC} = (2;4; - 6)\Rightarrow \middle| \overset{\rightarrow}{u} \middle| = 2\sqrt{14} \right.$.

$P = 2.4 + 13 + 6 - 1 + 2\overset{\rightarrow}{MI} \cdot \overset{\rightarrow}{u} = 26 + 2\overset{\rightarrow}{MI} \cdot \overset{\rightarrow}{u}$.

$\left. P_{max} = 26 + 2 \cdot R \cdot \middle| \overset{\rightarrow}{u} \middle| = 26 + 2 \cdot 2 \cdot 2\sqrt{14} = 26 + 8\sqrt{14} \right.$.

b) Sai: $\overset{\rightarrow}{AB} = (1; - 1;2),\overset{\rightarrow}{AC} = (0; - 2;4)$.

Vectơ pháp tuyến $\overset{\rightarrow}{n} = \lbrack\overset{\rightarrow}{AB},\overset{\rightarrow}{AC}\rbrack = (0; - 4; - 2)$, chọn $\overset{\rightarrow}{n^{\prime}} = (0;2;1)$.

Phương trình $\left. (ABC):2(y - 1) + 1(z + 1) = 0\Rightarrow 2y + z - 1 = 0 \right.$.

c) Đúng: $AB = \sqrt{1^{2} + {( - 1)}^{2} + 2^{2}} = \sqrt{6}$.

d) Sai: Khoảng cách $d(I,(ABC)) = \dfrac{\left| 2( - 1) + 2 - 1 \right|}{\sqrt{2^{2} + 1^{2}}} = \dfrac{1}{\sqrt{5}} < R$.

Vậy mặt phẳng $(ABC)$ cắt mặt cầu $(S)$.

Đáp án cần chọn là: Đ; S; Đ; S

Group 2K8 ôn Thi ĐGNL & ĐGTD Miễn Phí

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>>  2K9 Chú ý! Lộ Trình Sun 2027 - 1 lộ trình ôn đa kỳ thi (TN THPT, ĐGNL (Hà Nội/ Hồ Chí Minh), ĐGNL Sư Phạm, ĐGTD, ĐGNL Bộ Công an, ĐGNL Bộ Quốc phòngTD - Click xem ngay) tại Tuyensinh247.com. Cập nhật bám sát bộ SGK mới, Thầy Cô giáo giỏi, 3 bước chi tiết: Nền tảng lớp 12; Luyện thi chuyên sâu; Luyện đề đủ dạng đáp ứng mọi kì thi.

Hỗ trợ - Hướng dẫn

  • 024.7300.7989
  • 1800.6947 free

(Thời gian hỗ trợ từ 7h đến 22h)
Email: lienhe@tuyensinh247.com

Đăng ký nhận tư vấn