(2,0 điểm)Cho điểm $M$ nằm ngoài đường tròn $\left( {O;R} \right)$. Từ điểm $M$ vẽ hai tiếp
(2,0 điểm)
Cho điểm $M$ nằm ngoài đường tròn $\left( {O;R} \right)$. Từ điểm $M$ vẽ hai tiếp tuyến $MA,\,\, MB$ với $\left( {O;R} \right)$ ($A,\,\, B$ là các tiếp điểm)
a) Chứng minh tứ giác $MAOB$ nội tiếp
b) Vẽ đường kính $AC$ của $\left( {O;R} \right)$. Đường thẳng $MC$ cắt $\left( {O;R} \right)$ tại điểm $D$ (khác $C$). Tiếp tuyến của $\left( {O;R} \right)$ tại $D$ cắt tia $AB$ ở $F$. Chứng minh $FC$ là tiếp tuyến của $\left( {O;R} \right)$
Quảng cáo
a) Vận dụng tính chất tiếp tuyến của đường tròn để suy ra các góc vuông ($\angle MAO = \angle MBO = 90^{{^\circ}}$). Sử dụng dấu hiệu nhận biết tứ giác nội tiếp: Chứng minh tứ giác có tổng số đo hai góc đối diện bằng $180^{{^\circ}}$ (hoặc cùng nhìn đoạn MO dưới một góc vuông ).
b) Sử dụng hệ thức lượng trong tam giác vuông ($\Delta OAM$ vuông tại A, đường cao AH) để chứng minh $OH.OM = R^{2}$.
a)
Vì $MA$ là tiếp tuyến của $(O)$ nên $\angle MAO = 90{^\circ}$
Khi đó $M,A,O$ cùng thuộc đường tròn đường kính $MO$
Tương tự $M,B,O$ cùng thuộc đường tròn đường kính $MO$
Do đó $M,A,O,B$ cùng thuộc đường tròn đường kính $MO$
Vậy tứ giác $MAOB$ nội tiếp
b)
Gọi $H$ là giao điểm của $OM$ và $AB$
Gọi $I$ là trung điểm của $CD$
Theo tính chất hai tiếp tuyến cắt nhau ta có $OM\bot AB$ tại $H$ nên $\angle OHM = 90{^\circ}$
Xét $\Delta OAM$ và $\Delta OHA$ có
$\begin{array}{l} {\angle OAM = \angle OHA = 90{^\circ}} \\ {\angle AOM\,\, chung} \end{array}$
Do đó $\Delta OAM \backsim \Delta OHA\,\,\left( {g.g} \right)$
Suy ra $\dfrac{OA}{OH} = \dfrac{OM}{OA}$ hay $OH.OM = OA^{2} = R^{2}\,\,(1)$
Gọi $F'$ là giao điểm của $OI$ và $AB$
Xét $\Delta OHF'$ và $\Delta OIM$ có
$\begin{array}{l} {\angle MOI\,\, chung} \\ {\angle OHF' = \angle OIM = 90{^\circ}} \end{array}$
Do đó $\Delta OHF' \backsim \Delta OIM\,\,\left( {g.g} \right)$
Suy ra $\dfrac{OH}{OI} = \dfrac{OF'}{OM}$ hay $OF'.OI = OH.OM\,\,(2)$
Từ (1) và (2) ta có $OF'.OI = R^{2} = OD^{2}$
Suy ra $\dfrac{OF'}{OD} = \dfrac{OD}{OI}$
Từ đó ta được $\Delta OF'D \backsim \Delta ODI\,\,\left( {c.g.c} \right)$ nên $\angle ODF' = \angle OID = 90{^\circ}$
Khi đó $F'D$ là tiếp tuyến của $\left( {O;R} \right)$ hay $F' \equiv F$
Ta có: $OF$ vuông góc với $CD$ tại trung điểm $I$ nên $OF$ là đường trung trực của $CD$
Suy ra $FC = FD$
Từ đó ta suy ra $\Delta FOD = \Delta FOC\,\,\left( {c.c.c} \right)$ nên $\angle FCO = \angle FDO = 90{^\circ}$
Vậy $FC$ là tiếp tuyến của $(O)$
Tham Gia Group Dành Cho Học Sinh Lớp 9 - Ôn Thi Vào Lớp 10
>> Học trực tuyến lớp 9 và Lộ trình UP10 trên Tuyensinh247.com . Học online tại nhà cũng giáo viên giỏi từ trường TOP đầu cả nước. Lộ trình học tập 3 giai đoạn: Học nền tảng lớp 9, Ôn thi vào lớp 10, Luyện Đề. Bứt phá điểm lớp 9, thi vào lớp 10 kết quả cao. Hoàn trả học phí nếu học không hiệu quả. Phụ huynh và học sinh tham khảo chi tiết khoá học tại: Link
 |
 |
 |
 |
 |
 |
Hỗ trợ - Hướng dẫn
-
024.7300.7989
-
1800.6947
(Thời gian hỗ trợ từ 7h đến 22h)
Email: lienhe@tuyensinh247.com
