Cho hàm số $f(x) = \dfrac{2x - 1}{x + 1}$ có đồ thị $(C)$. Gọi A, B lần lượt là giao điểm của

Câu hỏi số 966686:

Vận dụng

Cho hàm số $f(x) = \dfrac{2x - 1}{x + 1}$ có đồ thị $(C)$. Gọi A, B lần lượt là giao điểm của tiệm cận đứng và tiệm cận ngang của $(C)$ với hai trục tọa độ. Những phương án nào dưới đây đúng?

A. Hàm số $f(x)$ nghịch biến trên từng khoảng $( - \infty; - 1),( - 1; + \infty)$.

B. Tâm đối xứng của (C) có tọa độ là $( - 1;2)$.

C. Khoảng cách từ O đến AB là $\dfrac{2}{\sqrt{5}}$.

D. Biết đồ thị $(C)$ đi qua hai điểm phân biệt thỏa mãn tiếp tuyến với $(C)$ tại mỗi điểm đó song song với đường thẳng $y = x$. Tích giá trị hoành độ của hai điểm nói trên là -2.

Đáp án đúng là: B; C; D

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:966686

Phương pháp giải

Tìm tập xác định, tính đạo hàm để xét tính đơn điệu của hàm số.

Xác định phương trình các đường tiệm cận, từ đó suy ra tọa độ tâm đối xứng và tọa độ giao điểm với các trục tọa độ.

Viết phương trình đường thẳng đi qua hai điểm, sử dụng công thức tính khoảng cách từ một điểm đến một đường thẳng.

Tiếp tuyến song song với đường thẳng y = ax + b thì có hệ số góc k = a. Giải phương trình đạo hàm bằng hệ số góc để tìm hoành độ các tiếp điểm, dùng định lí Vi-et để tính tích.

Giải chi tiết

1 Sai. Hàm số có tập xác định $D = {\mathbb{R}} \smallsetminus \left\{ - 1 \right\}$.

Ta có đạo hàm $f'(x) = \dfrac{2 \cdot 1 - ( - 1) \cdot 1}{{(x + 1)}^{2}} = \dfrac{3}{{(x + 1)}^{2}}$.

Vì $f'(x) > 0$ với mọi $x \in D$, hàm số đồng biến trên từng khoảng $( - \infty; - 1)$ và $( - 1; + \infty)$.

2 Đúng. Đồ thị $(C)$ có đường tiệm cận đứng là $x = - 1$ và đường tiệm cận ngang là $y = 2$.

Tâm đối xứng của đồ thị là giao điểm của hai đường tiệm cận này, có tọa độ là $( - 1;2)$.

3 Đúng. Tiệm cận đứng $x = - 1$ giao với trục hoành tại điểm $A( - 1;0)$.

Tiệm cận ngang $y = 2$ giao với trục tung tại điểm $B(0;2)$.

Phương trình đường thẳng AB viết theo đoạn chắn là $\left. \dfrac{x}{- 1} + \dfrac{y}{2} = 1\Leftrightarrow 2x - y + 2 = 0 \right.$.

Khoảng cách từ gốc tọa độ $O(0;0)$ đến đường thẳng AB là $d(O,AB) = \dfrac{|2 \cdot 0 - 0 + 2|}{\sqrt{2^{2} + {( - 1)}^{2}}} = \dfrac{2}{\sqrt{5}}$.

4 Đúng. Đường thẳng $y = x$ có hệ số góc bằng 1. Do tiếp tuyến song song với đường thẳng này nên hệ số góc của tiếp tuyến là $k = 1$.

Hoành độ tiếp điểm là nghiệm của phương trình $f'(x) = 1$.

Ta có $\left. \dfrac{3}{{(x + 1)}^{2}} = 1\Leftrightarrow{(x + 1)}^{2} = 3\Leftrightarrow x^{2} + 2x - 2 = 0 \right.$.

Phương trình bậc hai này có $\Delta' = 1^{2} - 1 \cdot ( - 2) = 3 > 0$ nên luôn có hai nghiệm phân biệt.

Theo định lí Vi-et, tích các giá trị hoành độ của hai điểm này là $x_{1}x_{2} = \dfrac{c}{a} = - 2$.

Đáp án cần chọn là: B; C; D

Group 2K8 ôn Thi ĐGNL & ĐGTD Miễn Phí

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> 2K9 Chú ý! Lộ Trình Sun 2027 - 1 lộ trình ôn đa kỳ thi (TN THPT, ĐGNL (Hà Nội/ Hồ Chí Minh), ĐGNL Sư Phạm, ĐGTD, ĐGNL Bộ Công an, ĐGNL Bộ Quốc phòngTD - Click xem ngay) tại Tuyensinh247.com. Cập nhật bám sát bộ SGK mới, Thầy Cô giáo giỏi, 3 bước chi tiết: Nền tảng lớp 12; Luyện thi chuyên sâu; Luyện đề đủ dạng đáp ứng mọi kì thi.