Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho mặt cầu $(S):{(x - 1)}^{2} + {(y - 2)}^{2} + {(z - 2)}^{2} = 9$

Câu hỏi số 966687:

Vận dụng

Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho mặt cầu $(S):{(x - 1)}^{2} + {(y - 2)}^{2} + {(z - 2)}^{2} = 9$ và hai điểm $M(4; - 4;2)$, $N(6;0;6)$. Những phương án nào dưới đây đúng?

A. M gần tâm của mặt cầu (S) hơn so với N.

B. Phương trình đường thẳng MN là $\dfrac{x - 4}{1} = \dfrac{y + 4}{2} = \dfrac{z - 2}{2}$.

C. Điểm $K(0;1; - 2)$ thuộc mặt phẳng (MIN).

D. Gọi E là một điểm thay đổi thuộc mặt cầu (S), giá trị lớn nhất của $EM + EN$ là $6\sqrt{2}$.

Đáp án đúng là: B

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:966687

Phương pháp giải

Xác định tâm và bán kính của mặt cầu.

Sử dụng công thức tính khoảng cách giữa hai điểm để kiểm tra khoảng cách đến tâm.

Viết phương trình đường thẳng đi qua hai điểm để đối chiếu.

Tìm vectơ pháp tuyến của mặt phẳng đi qua ba điểm bằng tích có hướng, sau đó viết phương trình mặt phẳng và kiểm tra điểm.

Sử dụng công thức đường trung tuyến trong tam giác và bất đẳng thức (a+b)^2 \le 2(a^2+b^2) kết hợp với tính chất của điểm trên mặt cầu để đánh giá giá trị lớn nhất của tổng khoảng cách.

Giải chi tiết

Mặt cầu $(S)$ có tâm $I(1;2;2)$ và bán kính $R = 3$.

1 Sai. Ta có $\left. \overset{\rightarrow}{IM} = (3; - 6;0)\Rightarrow IM = \sqrt{3^{2} + {( - 6)}^{2} + 0^{2}} = 3\sqrt{5} \right.$.

$\left. \overset{\rightarrow}{IN} = (5; - 2;4)\Rightarrow IN = \sqrt{5^{2} + {( - 2)}^{2} + 4^{2}} = 3\sqrt{5} \right.$.

Vì $IM = IN$ nên M và N cách đều tâm I.

2 Đúng. Vectơ $\overset{\rightarrow}{MN} = (2;4;4) = 2(1;2;2)$.

Đường thẳng MN đi qua $M(4; - 4;2)$ và có một vectơ chỉ phương là $\overset{\rightarrow}{u} = (1;2;2)$ nên có phương trình chính tắc là:

$\dfrac{x - 4}{1} = \dfrac{y + 4}{2} = \dfrac{z - 2}{2}$. Do đó ý b) đúng.

3 Sai. Mặt phẳng (MIN) đi qua I(1;2;2) và nhận vectơ $\overset{\rightarrow}{n} = \dfrac{1}{12}\lbrack\overset{\rightarrow}{IM},\overset{\rightarrow}{IN}\rbrack = \dfrac{1}{12}( - 24; - 12;24) = ( - 2; - 1;2)$ làm vectơ pháp tuyến.

Phương trình mặt phẳng (MIN) là: $\left. - 2(x - 1) - 1(y - 2) + 2(z - 2) = 0\Leftrightarrow 2x + y - 2z = 0 \right.$.

Thay tọa độ điểm $K(0;1; - 2)$ vào vế trái ta được $2(0) + 1 - 2( - 2) = 5 \neq 0$.

Suy ra K không thuộc mặt phẳng (MIN).

4 Sai.

Gọi J là trung điểm của đoạn thẳng MN, ta có $J(5; - 2;4)$.

Độ dài $IJ = \sqrt{4^{2} + {( - 4)}^{2} + 2^{2}} = 6$.

Độ dài $MN = \sqrt{2^{2} + 4^{2} + 4^{2}} = 6$.

Áp dụng công thức đường trung tuyến trong tam giác EMN:

$EM^{2} + EN^{2} = 2EJ^{2} + \dfrac{MN^{2}}{2} = 2EJ^{2} + 18$.

Áp dụng bất đẳng thức đại số: ${(EM + EN)}^{2} \leq 2(EM^{2} + EN^{2}) = 2(2EJ^{2} + 18) = 4EJ^{2} + 36$.

Vì E là một điểm nằm trên mặt cầu (S) tâm I bán kính $R = 3$, khoảng cách lớn nhất từ E đến điểm J cố định là $EJ_{\max} = IJ + R = 6 + 3 = 9$.

Suy ra $\left. {(EM + EN)}^{2} \leq 4 \cdot 9^{2} + 36 = 360\Rightarrow EM + EN \leq \sqrt{360} = 6\sqrt{10} \right.$.

Dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi $EM = EN$ và $EJ = 9$ (khi E là giao điểm của tia đối tia IJ với mặt cầu (S)).

Vậy giá trị lớn nhất của $EM + EN$ là $6\sqrt{10}$.

Giá trị $6\sqrt{2}$ thực chất là giá trị nhỏ nhất của biểu thức này. Do đó ý 4 sai.

Đáp án cần chọn là: B

Group 2K8 ôn Thi ĐGNL & ĐGTD Miễn Phí

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> 2K9 Chú ý! Lộ Trình Sun 2027 - 1 lộ trình ôn đa kỳ thi (TN THPT, ĐGNL (Hà Nội/ Hồ Chí Minh), ĐGNL Sư Phạm, ĐGTD, ĐGNL Bộ Công an, ĐGNL Bộ Quốc phòngTD - Click xem ngay) tại Tuyensinh247.com. Cập nhật bám sát bộ SGK mới, Thầy Cô giáo giỏi, 3 bước chi tiết: Nền tảng lớp 12; Luyện thi chuyên sâu; Luyện đề đủ dạng đáp ứng mọi kì thi.