Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông tâm O cạnh a, SA vuông góc với đáy và $SD =
Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông tâm O cạnh a, SA vuông góc với đáy và $SD = a\sqrt{2}$. Những phương án nào dưới đây đúng?
Đáp án đúng là: B; D; E
Quảng cáo
Sử dụng định lý Pytago trong tam giác vuông để tính chiều cao và các cạnh của hình chóp.
Áp dụng công thức tính thể tích khối chóp: $V = \dfrac{1}{3}S_{day} \cdot h$.
Xác định góc giữa đường thẳng và mặt phẳng bằng góc giữa đường thẳng đó và hình chiếu vuông góc của nó trên mặt phẳng.
Xác định khoảng cách từ điểm đến mặt phẳng thông qua việc dựng các đường vuông góc.
Tính khoảng cách giữa hai đường thẳng chéo nhau bằng cách dựng mặt phẳng chứa đường này và song song với đường kia, đưa về khoảng cách từ một điểm đến một mặt phẳng.
Đáy ABCD là hình vuông cạnh a nên $AB = BC = CD = AD = a$, đường chéo $AC = BD = a\sqrt{2}$.
O là tâm hình vuông nên O là trung điểm của AC và BD, đồng thời $AC\bot BD$ tại O.
Vì $SA\bot(ABCD)$ nên $SA\bot AD$.
Tam giác SAD vuông tại A nên $SA = \sqrt{SD^{2} - AD^{2}} = \sqrt{{(a\sqrt{2})}^{2} - a^{2}} = a$.
1 Sai. Diện tích đáy là $S_{ABCD} = a^{2}$.
Thể tích khối chóp S.ABCD là $V = \dfrac{1}{3} \cdot S_{ABCD} \cdot SA = \dfrac{1}{3} \cdot a^{2} \cdot a = \dfrac{a^{3}}{3}$.
2 Đúng. Ta có $DO\bot AC$ (tính chất hai đường chéo hình vuông).
Lại có $DO\bot SA$ (do $SA\bot(ABCD)$). Suy ra $DO\bot(SAC)$.
Do đó, SO là hình chiếu vuông góc của SD lên mặt phẳng (SAC).
Góc giữa SD và mặt phẳng (SAC) là góc giữa SD và SO, chính là góc $\widehat{DSO}$.
Xét tam giác vuông DSO (vuông tại O vì $\left. DO\bot(SAC)\Rightarrow DO\bot SO \right.$):
$DO = \dfrac{1}{2}BD = \dfrac{a\sqrt{2}}{2}$.
$\left. \sin\widehat{DSO} = \dfrac{DO}{SD} = \dfrac{\dfrac{a\sqrt{2}}{2}}{a\sqrt{2}} = \dfrac{1}{2}\Rightarrow\widehat{DSO} = 30^{{^\circ}} \right.$.
3 Sai. Trong mặt phẳng (SAO), kẻ $AH\bot SO$ tại $H$.
Ta có $BD\bot AC$ và $\left. BD\bot SA\Rightarrow BD\bot(SAC)\Rightarrow BD\bot AH \right.$.
Lại có $AH\bot SO$, suy ra $AH\bot(SBD)$.
Vậy khoảng cách từ A đến mặt phẳng (SBD) bằng độ dài đoạn thẳng AH.
Xét tam giác SAO vuông tại A, đường cao AH, ta có $AO = \dfrac{1}{2}AC = \dfrac{a\sqrt{2}}{2}$.
$\left. \dfrac{1}{AH^{2}} = \dfrac{1}{SA^{2}} + \dfrac{1}{AO^{2}} = \dfrac{1}{a^{2}} + \dfrac{1}{\left( \dfrac{a\sqrt{2}}{2} \right)^{2}} = \dfrac{1}{a^{2}} + \dfrac{2}{a^{2}} = \dfrac{3}{a^{2}}\Rightarrow AH = \dfrac{a\sqrt{3}}{3} \right.$.
4 Đúng. Trong mặt phẳng (ABCD), dựng hình bình hành ACBE
Suy ra $d(AC,SB) = d(AC,(SBE)) = d(A,(SBE))$.
Kẻ $AH\bot BE$ tại H. Khi đó AHBO là hình chữ nhật, suy ra $AH = BO = \dfrac{1}{2}BD = \dfrac{a\sqrt{2}}{2}$.
Kẻ $AI\bot SH$ tại I.
Ta có $BE\bot AH$ và $\left. BE\bot SA\Rightarrow BE\bot(SAH)\Rightarrow BE\bot AI \right.$.
Mặt khác $AI\bot SH$, suy ra $AI\bot(SBE)$.
Vậy $d(A,(SBE)) = AI$.
Xét tam giác SAH vuông tại A, đường cao AI:
$\left. \dfrac{1}{AI^{2}} = \dfrac{1}{SA^{2}} + \dfrac{1}{AH^{2}} = \dfrac{1}{a^{2}} + \dfrac{2}{a^{2}} = \dfrac{3}{a^{2}}\Rightarrow AI = \dfrac{a\sqrt{3}}{3} \right.$.
Khoảng cách giữa SB và AC bằng $\dfrac{a\sqrt{3}}{3}$.
5 Đúng.
Gọi M, N lần lượt là trung điểm của AB và CD.
Khi đó O là trung điểm của MN và $MN \parallel BC \parallel AD$.
Mặt phẳng (SMN) chứa SO và song song với BC nên
$d(SO,BC) = d(BC,(SMN)) = d(B,(SMN))$.
Do M là trung điểm của AB nên đường thẳng AB cắt mặt phẳng (SMN) tại trung điểm M, suy ra
$d(B,(SMN)) = d(A,(SMN))$.
Ta có $MN\bot AM$ (do $AD\bot AB$) và $\left. MN\bot SA\Rightarrow MN\bot(SAM) \right.$.
Trong mặt phẳng (SAM), kẻ $AP\bot SM$ tại P.
Vì $\left. MN\bot(SAM)\Rightarrow MN\bot AP \right.$.
Lại có $AP\bot SM$ nên $AP\bot(SMN)$.
Khoảng cách từ A đến mặt phẳng (SMN) bằng độ dài đoạn thẳng AP.
Xét tam giác SAM vuông tại A, đường cao AP, ta có $AM = \dfrac{1}{2}AB = \dfrac{a}{2}$.
$\left. \dfrac{1}{AP^{2}} = \dfrac{1}{SA^{2}} + \dfrac{1}{AM^{2}} = \dfrac{1}{a^{2}} + \dfrac{1}{\left( \dfrac{a}{2} \right)^{2}} = \dfrac{1}{a^{2}} + \dfrac{4}{a^{2}} = \dfrac{5}{a^{2}}\Rightarrow AP = \dfrac{a\sqrt{5}}{5} \right.$.
Khoảng cách giữa SO và BC bằng $\dfrac{a\sqrt{5}}{5}$.
Đáp án cần chọn là: B; D; E
Group 2K8 ôn Thi ĐGNL & ĐGTD Miễn Phí
>> 2K9 Chú ý! Lộ Trình Sun 2027 - 1 lộ trình ôn đa kỳ thi (TN THPT, ĐGNL (Hà Nội/ Hồ Chí Minh), ĐGNL Sư Phạm, ĐGTD, ĐGNL Bộ Công an, ĐGNL Bộ Quốc phòngTD - Click xem ngay) tại Tuyensinh247.com. Cập nhật bám sát bộ SGK mới, Thầy Cô giáo giỏi, 3 bước chi tiết: Nền tảng lớp 12; Luyện thi chuyên sâu; Luyện đề đủ dạng đáp ứng mọi kì thi.
 |
 |
 |
 |
 |
 |
 |
 |
Hỗ trợ - Hướng dẫn
-
024.7300.7989
-
1800.6947
(Thời gian hỗ trợ từ 7h đến 22h)
Email: lienhe@tuyensinh247.com
