Tel: 024.7300.7989 - Phone: 1800.6947 (Thời gian hỗ trợ từ 7h đến 22h)

Giỏ hàng của tôi
Trang chủ
Luyện thi đại học môn toán

Dựa vào dữ liệu dưới đây, thí sinh lựa chọn một phương án đúng theo yêu cầu của các câu

Dựa vào dữ liệu dưới đây, thí sinh lựa chọn một phương án đúng theo yêu cầu của các câu sau

Một viên gạch lát nền nhà có dạng hình vuông với hoa văn như hình vẽ bên. Xét hình phẳng có diện tích $S_{1}$ được tạo thành bởi các đường cong $(L_{1})$, $(L_{2})$ và một cạnh viên gạch, trong đó đường $(L_{1})$ là tập hợp các điểm M thỏa mãn $MA = \sqrt{2}d(M,\Delta)$ ($A$ là trung điểm một cạnh viên gạch; $\Delta$ là đường phân giác góc phần tư thứ nhất của mặt phẳng tọa độ Oxy với hệ trục đặt theo hình vẽ); $(L_{2})$ đối xứng với $(L_{1})$ qua trục Ox. Biết viên gạch này có kích thước cạnh bằng 40 cm, đơn vị trên mỗi trục tọa độ là cm.

Trả lời cho các câu 1, 2 dưới đây:

Câu hỏi số 1:
Vận dụng

Phương trình đường cong $(L_{1})$ là

Đáp án đúng là: B

Xem lời giải
Câu hỏi:966696
Phương pháp giải

Sử dụng công thức tính khoảng cách từ điểm đến đường thẳng và công thức tính độ dài đoạn thẳng trong hệ tọa độ Oxy để thiết lập phương trình quỹ tích điểm M.

Giải chi tiết

Gắn hệ trục tọa độ Oxy như hình vẽ, tâm viên gạch trùng với gốc tọa độ O.

Vì viên gạch hình vuông có cạnh bằng 40 cm và trục Ox đi qua trung điểm của cạnh bên phải nên điểm A có tọa độ là A(20; 0).

Đường phân giác góc phần tư thứ nhất $\Delta$ có phương trình là $\left. y = x\Leftrightarrow x - y = 0 \right.$.

Gọi $M(x;y)$ là một điểm bất kỳ thuộc đường cong $(L_{1})$.

Theo giả thiết bài toán, ta có: $MA = \sqrt{2}d(M,\Delta)$

$\left. \Leftrightarrow\sqrt{{(x - 20)}^{2} + {(y - 0)}^{2}} = \sqrt{2} \cdot \dfrac{\left| {x - y} \right|}{\sqrt{1^{2} + {( - 1)}^{2}}} \right.$

$\left. \Leftrightarrow\sqrt{{(x - 20)}^{2} + y^{2}} = \left| {x - y} \right| \right.$

Bình phương hai vế của phương trình ta được:

${(x - 20)}^{2} + y^{2} = {(x - y)}^{2}$

$\left. \Leftrightarrow x^{2} - 40x + 400 + y^{2} = x^{2} - 2xy + y^{2} \right.$

$\left. \Leftrightarrow - 40x + 400 = - 2xy \right.$

$\left. \Leftrightarrow 2xy = 40x - 400 \right.$

Dựa vào hình vẽ, đường cong $(L_{1})$ nằm trong góc phần tư thứ nhất (hoặc thuộc vùng có $x > 0$), do đó:

$y = \dfrac{40x - 400}{2x} = 20 - \dfrac{200}{x}$

Vậy phương trình của đường cong $(L_{1})$ là $y = 20 - \dfrac{200}{x}$.

Đáp án cần chọn là: B

Câu hỏi số 2:
Vận dụng

Tính tổng diện tích $S_{1} + S_{2} + S_{3} + S_{4}$, kết quả làm tròn đến hàng đơn vị của $cm^{2}$.

Đáp án đúng là: A

Xem lời giải
Câu hỏi:966697
Phương pháp giải

Thiết lập tích phân để tính diện tích hình phẳng $S_{1}$ giới hạn bởi các đường cong và đường thẳng. Sau đó nhân 4 để tìm tổng diện tích dựa vào tính chất đối xứng của hoa văn.

Giải chi tiết

Đường cong $(L_{1})$ có phương trình $y = 20 - \dfrac{200}{x}$.

Đường cong $(L_{2})$ đối xứng với $(L_{1})$ qua trục Ox nên giao điểm của $(L_{1})$ và $(L_{2})$ nằm trên trục Ox.

Hoành độ giao điểm của $(L_{1})$ và trục Ox là nghiệm của phương trình:

$\left. 20 - \dfrac{200}{x} = 0\Leftrightarrow x = 10 \right.$.

Hình phẳng $S_{1}$ được giới hạn bởi đường cong $(L_{1})$, đường cong $(L_{2})$ và cạnh của viên gạch (đường thẳng $x = 20$).

Do tính đối xứng qua trục Ox, diện tích phần nằm trên trục hoành của $S_{1}$ là:

${\int_{10}^{20}\left( {20 - \dfrac{200}{x}} \right)}dx = \left. \left( {20x - 200\ln|x|} \right) \right|_{10}^{20}$

$= (400 - 200\ln 20) - (200 - 200\ln 10)$

$= 200 - 200(\ln 20 - \ln 10) = 200 - 200\ln 2\mspace{6mu}(cm^{2})$.

Diện tích của toàn bộ hình $S_{1}$ là: $S_{1} = 2.(200 - 200\ln 2) = 400 - 400\ln 2(cm^{2})$.

Hoa văn trên viên gạch gồm 4 phần hoàn toàn giống nhau nên diện tích của 4 phần là bằng nhau ($S_{1} = S_{2} = S_{3} = S_{4}$).

Tổng diện tích cần tìm là: $S = 4.S_{1} = 4(400 - 400\ln 2) = 1600 - 1600\ln 2 \approx 491cm^{2}$.

Đáp án cần chọn là: A

Quảng cáo

Group 2K8 ôn Thi ĐGNL & ĐGTD Miễn Phí

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>>  2K9 Chú ý! Lộ Trình Sun 2027 - 1 lộ trình ôn đa kỳ thi (TN THPT, ĐGNL (Hà Nội/ Hồ Chí Minh), ĐGNL Sư Phạm, ĐGTD, ĐGNL Bộ Công an, ĐGNL Bộ Quốc phòngTD - Click xem ngay) tại Tuyensinh247.com. Cập nhật bám sát bộ SGK mới, Thầy Cô giáo giỏi, 3 bước chi tiết: Nền tảng lớp 12; Luyện thi chuyên sâu; Luyện đề đủ dạng đáp ứng mọi kì thi.

Hỗ trợ - Hướng dẫn

  • 024.7300.7989
  • 1800.6947 free

(Thời gian hỗ trợ từ 7h đến 22h)
Email: lienhe@tuyensinh247.com

Đăng ký nhận tư vấn