Giả sử số lượng của một quần thể nấm men tại môi trường nuôi cấy trong phòng thí nghiệm

Câu hỏi số 966702:

Vận dụng

Giả sử số lượng của một quần thể nấm men tại môi trường nuôi cấy trong phòng thí nghiệm được mô hình hóa bằng hàm số $P(t) = \dfrac{a}{b + e^{- 0,75t}}$. Trong đó, thời gian t được tính bằng giờ. Tại thời điểm ban đầu t = 0, quần thể có 20 tế bào và tăng với tốc độ 12 tế bào/giờ. Số lượng của quần thể nấm này tại thời điểm $t = 8$ giờ là bao nhiêu tế bào (làm tròn đến hàng đơn vị)?

Đáp án:

Đáp án đúng là: 99

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:966702

Phương pháp giải

Sử dụng giả thiết quần thể ban đầu có 20 tế bào để lập phương trình thứ nhất: $P(0) = 20$.

Tốc độ tăng của quần thể tại thời điểm t chính là đạo hàm $P'(t)$. Sử dụng giả thiết tốc độ tăng ban đầu là 12 để lập phương trình thứ hai: $P'(0) = 12$.

Giải hệ phương trình tìm được các tham số a và b.

Thay $t = 8$ vào hàm số $P(t)$ vừa tìm được để tính kết quả và làm tròn theo yêu cầu.

Giải chi tiết

Tại thời điểm ban đầu $t = 0$, quần thể có 20 tế bào nên ta có:

$\left. P(0) = \dfrac{a}{b + e^{0}} = 20\Rightarrow\dfrac{a}{b + 1} = 20\Rightarrow a = 20(b + 1) \right.$ (1)

Tốc độ tăng của quần thể nấm men là đạo hàm bậc nhất của hàm số $P(t)$ theo biến thời gian t:

$P'(t) = \dfrac{- a \cdot (b + e^{- 0,75t})'}{{(b + e^{- 0,75t})}^{2}} = \dfrac{- a \cdot ( - 0,75e^{- 0,75t})}{{(b + e^{- 0,75t})}^{2}} = \dfrac{0,75a \cdot e^{- 0,75t}}{{(b + e^{- 0,75t})}^{2}}$

Tại $t = 0$, quần thể tăng với tốc độ 12 tế bào/giờ nên ta có:

$\left. P'(0) = \dfrac{0,75a \cdot e^{0}}{{(b + e^{0})}^{2}} = 12\Rightarrow\dfrac{0,75a}{{(b + 1)}^{2}} = 12 \right.$ (2)

Thay (1) vào (2), ta được:

$\dfrac{0,75 \cdot 20(b + 1)}{{(b + 1)}^{2}} = 12$

$\left. \Rightarrow\dfrac{15}{b + 1} = 12 \right.$

$\left. \Rightarrow b + 1 = 1,25 \right.$

$\left. \Rightarrow b = 0,25 \right.$

Thay $b = 0,25$ vào (1), ta được $a = 20(0,25 + 1) = 25$.

Khi đó, hàm số mô hình hóa số lượng quần thể là: $P(t) = \dfrac{25}{0,25 + e^{- 0,75t}}$

Số lượng của quần thể nấm này tại thời điểm $t = 8$ giờ là:

$P(8) = \dfrac{25}{0,25 + e^{- 0,75 \cdot 8}} = \dfrac{25}{0,25 + e^{- 6}} \approx 99,018$

Làm tròn đến hàng đơn vị, số lượng tế bào là 99.

Đáp án cần điền là: 99

Group 2K8 ôn Thi ĐGNL & ĐGTD Miễn Phí

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> 2K9 Chú ý! Lộ Trình Sun 2027 - 1 lộ trình ôn đa kỳ thi (TN THPT, ĐGNL (Hà Nội/ Hồ Chí Minh), ĐGNL Sư Phạm, ĐGTD, ĐGNL Bộ Công an, ĐGNL Bộ Quốc phòngTD - Click xem ngay) tại Tuyensinh247.com. Cập nhật bám sát bộ SGK mới, Thầy Cô giáo giỏi, 3 bước chi tiết: Nền tảng lớp 12; Luyện thi chuyên sâu; Luyện đề đủ dạng đáp ứng mọi kì thi.