Cho hàm số $y = f(x)$ liên tục và luôn dương trên $\mathbb{R}$ có đồ thị đi qua các điểm

Câu hỏi số 966704:

Vận dụng

Cho hàm số $y = f(x)$ liên tục và luôn dương trên $\mathbb{R}$ có đồ thị đi qua các điểm $A(2;6)$, $B(4;8)$. Tính tích phân $I = {\int_{2}^{4}\dfrac{xf'(x)dx}{f^{2}(x)}} - {\int_{2}^{4}\dfrac{dx}{f(x)}}$. (nhập kết quả dưới dạng phân số a/b)

Đáp án:

Đáp án đúng là: -1/6

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:966704

Phương pháp giải

Sử dụng phương pháp tích phân từng phần cho tích phân thứ nhất. Đặt $u = x$ và $dv = \dfrac{f'(x)}{f^{2}(x)}dx$.

Giải chi tiết

Vì đồ thị hàm số $y = f(x)$ đi qua các điểm $A(2;6)$ và $B(4;8)$ nên ta có $f(2) = 6$ và $f(4) = 8$.

Xét tích phân $\int_{2}^{4}\dfrac{xf'(x)dx}{f^{2}(x)}$, ta dùng phương pháp tích phân từng phần:

Đặt $\left. u = x\Rightarrow du = dx \right.$.

$\left. dv = \dfrac{f'(x)}{f^{2}(x)}dx\Rightarrow v = - \dfrac{1}{f(x)} \right.$.

Khi đó ta có: ${\int_{2}^{4}\dfrac{xf'(x)}{f^{2}(x)}}dx = \left. \left( {- \dfrac{x}{f(x)}} \right) \right|_{2}^{4} - {\int_{2}^{4}\left( {- \dfrac{1}{f(x)}} \right)}dx$

$= \left( {- \dfrac{4}{f(4)} + \dfrac{2}{f(2)}} \right) + {\int_{2}^{4}\dfrac{dx}{f(x)}}$

Thay kết quả này vào biểu thức của $I$, ta được:

$I = \left( {- \dfrac{4}{f(4)} + \dfrac{2}{f(2)} + {\int_{2}^{4}\dfrac{dx}{f(x)}}} \right) - {\int_{2}^{4}\dfrac{dx}{f(x)}}$

$I = - \dfrac{4}{f(4)} + \dfrac{2}{f(2)}$

Thay giá trị $f(2) = 6$ và $f(4) = 8$ vào biểu thức, ta tính được:

$I = - \dfrac{4}{8} + \dfrac{2}{6} = - \dfrac{1}{2} + \dfrac{1}{3} = - \dfrac{1}{6}$.

Đáp án cần điền là: -1/6

Group 2K8 ôn Thi ĐGNL & ĐGTD Miễn Phí

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> 2K9 Chú ý! Lộ Trình Sun 2027 - 1 lộ trình ôn đa kỳ thi (TN THPT, ĐGNL (Hà Nội/ Hồ Chí Minh), ĐGNL Sư Phạm, ĐGTD, ĐGNL Bộ Công an, ĐGNL Bộ Quốc phòngTD - Click xem ngay) tại Tuyensinh247.com. Cập nhật bám sát bộ SGK mới, Thầy Cô giáo giỏi, 3 bước chi tiết: Nền tảng lớp 12; Luyện thi chuyên sâu; Luyện đề đủ dạng đáp ứng mọi kì thi.